Республиканская юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2017-2018 учебный год

Встретились несколько друзей. Каждый из них обменялся рукопожатием с каждым, кроме Кайрата, который, будучи не в духе, некоторым пожал руку, а некоторым – нет. Всего было сделано 222 рукопожатия. Сколько рукопожатий сделал Кайрат?

Комментарий/решение

Давайте закэнселим (уберём) Кайрата от общества. Заметим что это общество можно представить как какой-то $n$-угольник где все его вершины соединены с другой вершиной, получается количество диагоналей(рукопожатий): $n(n+1)/2$, и сейчас привезём Кайрата, пусть он поздоровался с $k<n$ человек. Значит количество: $n(n+1)/2 + k=222.$ Очевидно, $n<21$ и $n>19$, значит $n=20$ и Кайрат поздоровался с $12$ человек.

Ответ: $\boxed{12}.$

Почему $n<21?$, потому что допустим $n \geq 22$, значит количество рукопожатий станет больше $222$ (даже без причастия Кайрата). Почему $n>19?$, допустим $n \leq 18$, то количество рукопожатий меньше $222$ даже если Кайрат поздоровается со всеми.