1. Все олимпиады
  2. Математика
  3. Республиканская олимпиада
  4. Республиканская юниорская олимпиада
  5. 2017-2018 у.г.
  6. 7 класс. Заключительный этап

Республиканская юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2017-2018 учебный год


Задача №1.  За круглым столом сидят рыцари, которые всегда говорят правду, лжецы, которые всегда лгут и хитрецы, которые могут лгать или говорить правду по своему выбору. Всего 2018 человек. Каждый из сидящих произнёс две фразы: «Мой левый сосед – лжец». «Мой правый сосед – хитрец». Какое наименьшее количество хитрецов могло сидеть за этим столом?
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Встретились несколько друзей. Каждый из них обменялся рукопожатием с каждым, кроме Кайрата, который, будучи не в духе, некоторым пожал руку, а некоторым – нет. Всего было сделано 222 рукопожатия. Сколько рукопожатий сделал Кайрат?
комментарий/решение(1)
Задача №3.  На продолжении стороны $AB$ за точку $B$ треугольника $ABC$ выбрана точка $D$ так, что $AB=BD=AF$, где точка $F$ — середина $BC$. Отрезок $DF$ продолжили до пересечения со стороной $AC$ в точке $E$ Докажите, что $CE=CF$.
комментарий/решение(2)
Задача №4.  Прямоугольник разрезан на 9 квадратов, как показано на рисунке. Сторона маленького белого квадрата равна 1. Найдите стороны большого прямоугольника.


комментарий/решение(1)
Задача №5.  В числе $17*04*20*18*$ каждую из четырёх звёздочек нужно заменить на любую из цифр так, чтобы полученное число делилось на 45. Сколькими различными способами это можно сделать?
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Найдите все натуральные числа $x$ и $y$ такие, что $3 \times \text{НОД}(x,y) + x = 2020,$ $\text{НОК}(x,y) + 2y = 2018.$
комментарий/решение(1)
Задача №7.  2018 волейбольных команд сыграли однокруговой турнир (каждая с каждой сыграла по одному разу), причем в каждом матче играли команды, имевшие к началу этого матча поровну очков. Сколько очков набрала команда-победительница? За победу в волейболе дают 1 очко, за поражение 0 очков, ничьих не бывает.
комментарий/решение(1)
Задача №8.  Обезьяна хочет определить, из окна какого самого низкого этажа 10-этажного дома нужно бросить кокосовый орех, чтобы он разбился. Она знает, что если кинуть кокосовый орех с окна 4 этажа, то он не разобьётся. Какое минимальное количество бросков потребуется обезьяне, чтобы гарантированно удовлетворить свое любопытство, если у нее есть два ореха (орехи одинаковые по своим ударопрочным характеристикам)?
комментарий/решение(2)
Задача №9.  Квадрат $9 \times 9$ разрезан на квадраты $2 \times 2$ и «уголки» из трех клеток. Какое наибольшее количество квадратов $2 \times 2$ могло при этом получиться?
комментарий/решение(14)
Задача №10.  Все стороны выпуклого пятиугольника $ABCDE$ равны, а $\angle BCD=2\angle ACE$. Найдите $\angle ACE$.
комментарий/решение(1)