Республиканская юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2017-2018 учебный год

Задача №1. За круглым столом сидят рыцари, которые всегда говорят правду, лжецы, которые всегда лгут и хитрецы, которые могут лгать или говорить правду по своему выбору. Всего 2018 человек. Каждый из сидящих произнёс две фразы: «Мой левый сосед – лжец». «Мой правый сосед – хитрец». Какое наименьшее количество хитрецов могло сидеть за этим столом?
комментарий/решение(1)

Задача №2. Встретились несколько друзей. Каждый из них обменялся рукопожатием с каждым, кроме Кайрата, который, будучи не в духе, некоторым пожал руку, а некоторым – нет. Всего было сделано 222 рукопожатия. Сколько рукопожатий сделал Кайрат?
комментарий/решение(1)

Задача №3. На продолжении стороны

$AB$ за точку

$B$ треугольника

$ABC$ выбрана точка

$D$ так, что

$AB=BD=AF$ , где точка

$F$ — середина

$BC$ . Отрезок

$DF$ продолжили до пересечения со стороной

$AC$ в точке

$E$ Докажите, что

$CE=CF$ .
комментарий/решение(2)

Задача №4. Прямоугольник разрезан на 9 квадратов, как показано на рисунке. Сторона маленького белого квадрата равна 1. Найдите стороны большого прямоугольника.

комментарий/решение(1)

Задача №5. В числе

$17*04*20*18*$ каждую из четырёх звёздочек нужно заменить на любую из цифр так, чтобы полученное число делилось на 45. Сколькими различными способами это можно сделать?
комментарий/решение(1)

Задача №6. Найдите все натуральные числа

$x$ и

$y$ такие, что

$3 \times \text{НОД}(x,y) + x = 2020,$

$\text{НОК}(x,y) + 2y = 2018.$
комментарий/решение(1)

Задача №7. 2018 волейбольных команд сыграли однокруговой турнир (каждая с каждой сыграла по одному разу), причем в каждом матче играли команды, имевшие к началу этого матча поровну очков. Сколько очков набрала команда-победительница? За победу в волейболе дают 1 очко, за поражение 0 очков, ничьих не бывает.
комментарий/решение(1)

Задача №8. Обезьяна хочет определить, из окна какого самого низкого этажа 10-этажного дома нужно бросить кокосовый орех, чтобы он разбился. Она знает, что если кинуть кокосовый орех с окна 4 этажа, то он не разобьётся. Какое минимальное количество бросков потребуется обезьяне, чтобы гарантированно удовлетворить свое любопытство, если у нее есть два ореха (орехи одинаковые по своим ударопрочным характеристикам)?
комментарий/решение(2)

Задача №9. Квадрат

$9 \times 9$ разрезан на квадраты

$2 \times 2$ и «уголки» из трех клеток. Какое наибольшее количество квадратов

$2 \times 2$ могло при этом получиться?
комментарий/решение(14)

Задача №10. Все стороны выпуклого пятиугольника

$ABCDE$ равны, а

$\angle BCD=2\angle ACE$ . Найдите

$\angle ACE$ .
комментарий/решение(1)