Республиканская юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2017-2018 учебный год
Найдите все натуральные числа $x$ и $y$ такие, что $3 \times \text{НОД}(x,y) + x = 2020,$ $\text{НОК}(x,y) + 2y = 2018.$
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Допустим НОД$(x,y)=d \Rightarrow x=dm, y=dn\Rightarrow 3d+dm=2020, dmn+2dn=2018\Rightarrow$
$3d+dm-dmn-2dn=2 \Rightarrow d(3+m-mn-2n)=2$
Первый вариант когда $d=1 \Rightarrow 3+m=2020\Rightarrow m=2017\Rightarrow x=dm, x=2017\Leftrightarrow 2017n+2n=2018 \Rightarrow n=2018/2019$ но n целое значит этот вариант невозможен
Второй вариант когда $d=2, 6+2m=2020 \Rightarrow m=1007,x=2014\Leftrightarrow 2014n+4n=2018 \Rightarrow n=1, y=2$
Ответ$(2014,2)$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.