Республиканская юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2017-2018 учебный год

$3\times \text{ЕҮОБ}(x,y) + x = 2020$, $\text{ЕКОЕ}(x,y) + 2y = 2018$ теңдіктері орындалатындай барлық натурал $x$ және $y$ сандарын табыңыз.

Комментарий/решение

Допустим НОД$(x,y)=d \Rightarrow x=dm, y=dn\Rightarrow 3d+dm=2020, dmn+2dn=2018\Rightarrow$

$3d+dm-dmn-2dn=2 \Rightarrow d(3+m-mn-2n)=2$

Первый вариант когда $d=1 \Rightarrow 3+m=2020\Rightarrow m=2017\Rightarrow x=dm, x=2017\Leftrightarrow 2017n+2n=2018 \Rightarrow n=2018/2019$ но n целое значит этот вариант невозможен

Второй вариант когда $d=2, 6+2m=2020 \Rightarrow m=1007,x=2014\Leftrightarrow 2014n+4n=2018 \Rightarrow n=1, y=2$

Ответ$(2014,2)$