5-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур

Задача №1. Тимур решает задачи с помощью своей команды со скоростью 4 задачи в минуту, а один (без команды) — со скоростью 2 задачи в минуту. В командной олимпиаде дали четное количество задач. На олимпиаду все, кроме Тимура, опоздали. Тогда Тимур начал решать задачи без своей команды, и после того, как он решил половину задач, к нему присоединилась его команда, и все вместе решили оставшиеся задачи. Известно, что всего Тимур пробыл на олимпиаде 54 минуты. Сколько задач дали на олимпиаде?
комментарий/решение(1)

Задача №2. Существуют ли шесть таких последовательных натуральных чисел, что наименьшее общее кратное первых трёх из них больше, чем наименьшее общее кратное трёх следующих?
комментарий/решение(4)

Задача №3. На рисунке ниже изображены окружности с центрами в пяти точках $A$, $B$, $C$, $D$ и $E$. Отрезками соединены центры касающихся окружностей. Известно, что $AB = 16$, $BC = 14$, $CD = 17$, $DE = 13$ и $AE = 14$. В какой из пяти точек находится центр окружности наибольшего радиуса?

комментарий/решение(3)

Задача №4. В кабинете имеется 20 парт, на каждой парте сидят по 2 ученика. Каждому ученику дали по 3 задачи для самостоятельного решения. После урока учитель заметил, что если взять любую парту, то ученики этой парты суммарно решили 3 или 5 задач. Потом учитель подсчитал, сколько учеников решили все три задачи, и сколько учеников решили одну задачу. Найдите сумму подсчитанных учителем чисел.
комментарий/решение(1)

Задача №5. В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $AC$ равны. На стороне $AC$ отмечены точки $X,Y$ так, что $AX=BX=BY$, и $\angle XBY = 12^\circ$. Чему равен угол $CBY$?
комментарий/решение(3)

Задача №6. Можно ли 100 гирь массами 1, 2, 3, $\ldots$, 99, 100 разложить на 10 кучек разной массы так, чтобы выполнялось условие: чем тяжелее кучка, тем меньше в ней гирь?
комментарий/решение(1)

Задача №7. На командную олимпиаду дали 16 задач. Любая задача либо легкая, либо сложная. Ученики некоторой команды, решая задачи последовательно, сдали жюри все задачи (не обязательно в том порядке, в котором дали жюри), причем первым сдали легкую задачу, а последним — сложную. Один из членов жюри на листочке в строчку записывал в каком порядке эта команда сдавала задачи. Докажите, что на этом листочке число пар задач, сданных один за другим, в котором они являются разной сложности, равно нечетному числу.
комментарий/решение(1)

Задача №8. Назовем натуральное число особым, если оно представимо в виде $m^2+2n^2$, где $m,n$ — целые числа. Докажите, что произведение двух особых чисел также особое число.
комментарий/решение(1)

Задача №9. Можно ли провести в выпуклом шестиугольнике несколько диагоналей так, чтобы каждая из них пересекала во внутренних точках ровно три других?
комментарий/решение(1)

Задача №10. В остроугольном треугольнике $ABC$ на сторонах $AC$ и $AB$ отметили такие точки $K$ и $L$ соответственно так, что $KL$ параллельна $BC$ и $KL=KC$. На стороне $BC$ выбрана точка $M$ так, что $\angle KMB=\angle BAC$. Докажите, что $KM=AL$.
комментарий/решение(2)

Задача №11. Коля составил из различных ненулевых цифр пятизначное число $N$ и прибавил к нему число, получаемое из $N$ перестановкой цифр в порядке убывания. У него получилась сумма 171540. Затем он прибавил к $N$ число, получаемое из $N$ перестановкой цифр в порядке возрастания, и у него получилась сумма 85608. Какое число составил Коля?
комментарий/решение

Задача №12. Целые числа $x,y,z$ удовлетворяют равенству $xy+yz+zx=1$. Какое количество натуральных делителей имеет число $(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)$: четное количество или нечетное?
комментарий/решение(1)

Задача №13. Клетки доски размером $5\times 5$ раскрашены в шахматном порядке (угловые клетки — чёрные). По чёрным клеткам этой доски двигается фигура — мини-слон, оставляя след на каждой клетке, где он побывал, и больше в эту клетку не возвращаясь. Мини-слон может ходить либо в свободные от следов соседние (по диагонали) клетки, либо прыгать (также по диагонали) через одну клетку, в которой оставлен след, на свободную клетку за ней. Какое наибольшее количество клеток сможет посетить мини-слон?
комментарий/решение

Задача №14. В каждой клетке таблицы $10\times 10$ записано число. В каждой строке подчеркнули наибольшее число (или одно из наибольших, если их несколько), а в каждом столбце — наименьшее (или одно из наименьших). Оказалось, что все подчёркнутые числа подчёркнуты ровно два раза. Докажите, что все числа, записанные в таблице, между собой равны.
комментарий/решение(1)

Задача №15. Пусть $f(x)=x^2+3 x+2$. Вычислите $$\left(1-\frac{2}{f(1)}\right)\left(1-\frac{2}{f(2)}\right)\left(1-\frac{2}{f(3)}\right) \ldots\left(1-\frac{2}{f(2019)}\right).$$
комментарий/решение(1)

Задача №16. Пусть $K(x)$ равно числу таких несократимых дробей $\frac ab$, что $a < x$ и $b < x$ ($a$ и $b$ — натуральные числа). Например, $K(5/2) = 3$ (дроби 1, 2, $1/2$). Вычислить сумму $K(100) + K(100/2) + K(100/3) + \ldots + K(100/99) + K(100/100).$
комментарий/решение