5-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур
Целые числа x,y,z удовлетворяют равенству xy+yz+zx=1. Какое количество натуральных делителей имеет число (x2+1)(y2+1)(z2+1): четное количество или нечетное?
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
(x2+1)=x2+xy+yz+zx=(x+y)(x+z)
(y2+1)=y2+xy+yz+zx=(y+z)(y+x)
(z2+1)=z2+xy+yz+zx=(z+y)(z+x)⇒
(x2+1)(y2+1)(z2+1)=(x+y)(x+z)(y+z)(y+x)(z+y)(z+x)⇒
(x2+1)(y2+1)(z2+1)=((x+y)(x+z)(y+z))2
МЫ нашли что (x2+1)(y2+1)(z2+1) это квадрат, у квадрата нечетное количество делителей
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.