Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

5-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур


Целые числа x,y,z удовлетворяют равенству xy+yz+zx=1. Какое количество натуральных делителей имеет число (x2+1)(y2+1)(z2+1): четное количество или нечетное?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  10
2 года 8 месяца назад #

(x2+1)=x2+xy+yz+zx=(x+y)(x+z)

(y2+1)=y2+xy+yz+zx=(y+z)(y+x)

(z2+1)=z2+xy+yz+zx=(z+y)(z+x)

(x2+1)(y2+1)(z2+1)=(x+y)(x+z)(y+z)(y+x)(z+y)(z+x)

(x2+1)(y2+1)(z2+1)=((x+y)(x+z)(y+z))2

МЫ нашли что (x2+1)(y2+1)(z2+1) это квадрат, у квадрата нечетное количество делителей