5-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур

\q{12} Целые числа $x,y,z$ удовлетворяют равенству $xy+yz+zx=1$. Какое количество натуральных делителей имеет число $(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)$: четное количество или нечетное?

Комментарий/решение

$$(x^2+1)=x^2+xy+yz+zx=(x+y)(x+z)$$

$$(y^2+1)=y^2+xy+yz+zx=(y+z)(y+x)$$

$$(z^2+1)=z^2+xy+yz+zx=(z+y)(z+x) \Rightarrow$$

$$(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)=(x+y)(x+z)(y+z)(y+x)(z+y)(z+x) \Rightarrow$$

$$(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)=((x+y)(x+z)(y+z))^2$$

МЫ нашли что $(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)$ это квадрат, у квадрата нечетное количество делителей