5-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур

В каждой клетке таблицы $10\times 10$ записано число. В каждой строке подчеркнули наибольшее число (или одно из наибольших, если их несколько), а в каждом столбце — наименьшее (или одно из наименьших). Оказалось, что все подчёркнутые числа подчёркнуты ровно два раза. Докажите, что все числа, записанные в таблице, между собой равны.

Комментарий/решение

Пусть переменная a которая стоит на столбце b и строке c имеет индекс $a_{bc}$

Так как число подчёркнуто дважды, то оно одновременно является одним из максимальных в своей строке и одним из минимальных в своём столбце, тогда пусть $a_{xy}$ и $a_{mn}$ - подчёркнуты дважды, тогда $a_{xy} \geq a_{my}$; $a_{xy} \leq a_{xn}$; $a_{xn} \leq a_{mn}$; $a_{mn} \leq a_{my}$

тогда $a_{xy} \leq a_{xn} \leq a_{mn} \leq a_{my} \leq a_{xy} \Rightarrow a_{xy}=a_{xn}=a_{mn}=a_{my}$ аналогично со всеми остальными a