5-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур

Пусть $f(x)=x^2+3 x+2$. Вычислите $$\left(1-\frac{2}{f(1)}\right)\left(1-\frac{2}{f(2)}\right)\left(1-\frac{2}{f(3)}\right) \ldots\left(1-\frac{2}{f(2019)}\right).$$

Комментарий/решение

$ x^2+3x+2=x^2+2x+x+2=x(x+2)+x+2=(x+1)(x+2).$

$f(1)=2\cdot 3$

$f(2)=3\cdot 4$

.............

$f(2019)=2020\cdot 2021 $

Cонда

$\prod_{x=1}^{2019}(1-\frac{2}{(x+1)(x+2)})=\prod_{x=1}^{2019}\frac{x^2+3x}{(x+1)(x+2)}=\prod_{x=1}^{2019}\frac{x(x+3)}{(x+1)(x+2)}$

$\prod_{x=1}^{2019}\frac{x(x+3)}{(x+1)(x+2)}=\frac{1\cdot 4}{2\cdot 3}\cdot \frac{2\cdot 5}{3\cdot 4}\cdot \frac{3\cdot 6}{4\cdot 5}\cdot \frac{4\cdot 7}{5\cdot 6}\cdot \frac{5\cdot 8}{6\cdot 7}\cdot \frac{6\cdot 9}{7\cdot 8}\cdot ...\cdot \frac{2018\cdot 2021}{2019\cdot 2020}\cdot \frac{2019\cdot 2022}{2020\cdot 2021}=\frac{1}{3}\cdot \frac{2022}{2020}=\frac{674}{2020}=\frac{337}{1010}.$