қазақша
русскийХаджимуратов Н
Есеп №1. $ABC$ үшбұрышында $\angle ABC = 120^\circ$ және оның $AP$, $BQ$, $CR$ биссектрисалары $I$ нүктесінде қиылысады. $P$ нүктесінен $CR$ түзуіне жүргізілген перпендикуляр $AC$ қабырғасын $S$, ал $R$ нүктесінен $AP$ түзуіне жүргізілген перпендикуляр $AC$ қабырғасын $T$ нүктесінде қияды.
a) $\angle TIS = 90^\circ$;
b) $QS = QT$ екенін дәлелдеңіз. ( Хаджимуратов Н )
комментарий/решение(6) олимпиада
Есеп №2. $c(n)$ арқылы натурал $n$ санының барлық (1-ді және санның өзін қоса алғанда) бөлгіштерінің қосындысын белгілейік. $4a^2+17=b^{c(b)}$ теңдігін қанағаттандыратын барлық $(a,b)$ натурал сандар жұптарын табыңыз. ( Шакиев А., Хаджимуратов Н )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №3. Ағаның мазасыз қарындасы сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышын салып, $H$ нүктесінде қиылысатын $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ биіктіктерін жүргізді. Кейін ол үш $AH$, $BH$, $CH$ кесінділерінің ұзындықтарын өлшеп, алынған өлшемдерді үш қызыл картаға жазды. Мұнымен шектелмей, ол $HA_1$, $HB_1$, $HC_1$ кесінділерінің ұзындықтарын өлшеп, осы үш өлшемді үш жасыл картаға жазды. Қызыл және жасыл түсті ажырата алмайтын ағаның көңілін көтергісі келген қарындас карточкаларды араластырып, кейін барлық алты картаны ағасының алдына қойды. Егер алты картадағы барлық сандар әртүрлі болса, онда ағасы қай үш карта қызыл карта екенін таба ала ма? ( Шакиев А., Хаджимуратов Н )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №4. $M=\{2^0,2^1,2^2,\ldots,2^{2024}\}$ болсын. Пэддингтон есімді аю $M$ жиынындағы әр санды коэффициент ретінде дәл бір рет қолданып, $ax^2+bx+c$ түрдегі 675 үшмүшелік құрастырды. Кейін ол координаттық жазықтықта осы барлық үшмүшеліктердің графигін сызды. Осы графиктер жазықтықты кем дегенде неше бөлікке бөле алады? ( Шакиев А., Хаджимуратов Н )
комментарий/решение(2) олимпиада