Д. Храмцов

Задача №1. При каком наибольшем

$n$ можно раскрасить числа

$1, 2, \dots , 14$ в красный и синий цвета так, чтобы для любого числа

$k = 1, 2, \dots , n$ нашлись пара синих чисел, разность между которыми равна

$k$ , и пара красных чисел, разность между которыми тоже равна

$k$ ? ( Д. Храмцов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №2. На полке в произвольном порядке стоят десять томов энциклопедии, пронумерованных от 1 до 10. Разрешается менять местами любые два тома, между которыми стоит не меньше четырёх других томов. Всегда ли можно расставить все тома по возрастанию номеров? ( Д. Храмцов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №3. Можно ли расставить на ребрах куба 12 натуральных чисел так, чтобы суммы чисел на любых двух противоположных гранях отличались ровно на единицу? ( Д. Храмцов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №4. Найдите все натуральные числа, которые можно представить в виде

$\dfrac{xy+yz+zx}{x+y+z}$ , где

$x$ ,

$y$ и

$z$ — три различных натуральных числа. ( Д. Храмцов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №5. Через центры некоторых клеток шахматной доски

$8 \times 8$ проведена замкнутая ломаная без самопересечений. Каждое звено ломаной соединяет центры соседних по горизонтали, вертикали или диагонали клеток. Докажите, что в ограниченной ею части доски общая площадь чёрных кусков равна общей площади белых кусков. ( Д. Храмцов )
комментарий/решение(2) олимпиада