Олимпиада имени Леонарда Эйлера2015-2016 учебный год, II тур регионального этапа

Найдите все натуральные числа, которые можно представить в виде $\dfrac{xy+yz+zx}{x+y+z}$, где $x$, $y$ и $z$ — три различных натуральных числа. ( Д. Храмцов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Все натуральные числа, кроме 1.
Решение. Любое натуральное число $n > 1$ получается, если положить $x = 1$, $y = n$ и $z = n^2$: $\dfrac{xy+yz+zx}{x+y+z}=\dfrac{n(1+{{n}^{2}}+n)}{1+n+{{n}^{2}}}=n$. Покажем, что число $1$ получить нельзя. Для этого достаточно показать, что если натуральные числа $x$, $y$ и $z$ различны, то $xy+yz+zx > x+y+z$. В самом деле, $xy \ge x$, $yz \ge y$ и $zx \ge z$, и эти неравенства обращаются в равенства только при $x = y = z = 1$.
Замечание. Приведём другой способ представить любое число ${n > 1}$. Выберем для начала числа $x > y$ так, что $x+y = n+1$ (тогда $x \ge 2$). Заметим, что \[\dfrac{xy+yz+zx}{x+y+z}=x+y-\dfrac{{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}}{~x+y+z}.\] Значит, полагая $z = (x^2+xy+y^2)-(x+y)$, мы получаем искомую тройку, если проверим, что $z$ отлично от $x$ и $y$. Так как $x \ge 2$, имеем $x^2-x \ge x$ и $y^2-y \ge 0$, откуда $z = (x^2-x)+(y^2-y)+xy \ge x+0+y > {\max(x,y)}$. Отсюда и следует требуемое.

Так как $xy+yz+zx=z(x+y+z)+xy-z^2$ то

$\frac{xy+yz+zx}{x+y+z}=\frac{xy-z^2}{x+y+z}+z$

Если считать, что $xy=z^2$ то получим $z$. Значит можно просто выбрать $x=1, y=z^2, z=z>1$