Олимпиада имени Леонарда Эйлера2009-2010 учебный год, II тур заключительного этапа

На полке в произвольном порядке стоят десять томов энциклопедии, пронумерованных от 1 до 10. Разрешается менять местами любые два тома, между которыми стоит не меньше четырёх других томов. Всегда ли можно расставить все тома по возрастанию номеров? ( Д. Храмцов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Да.
Решение. Возьмём любой том. Он удалён не меньше, чем на 4 тома, либо от тома, стоящего первым, либо от тома, стоящего последним. Поэтому мы сможем поставить его либо на первое, либо на последнее место, а потом, если захотим, переставить с последнего на первое или наоборот. Поскольку место, на котором он должен стоять, удалено не меньше, чем на 4 тома, либо от первого места, либо от последнего, мы сможем следующим ходом поставить его на это место. Проделав описанную процедуру со всеми томами, кроме томов 1 и 10, мы поставим все их на свои места. Тома 1 и 10 окажутся после этого крайними, и мы получим расстановку томов по возрастанию номеров либо сразу, либо поменяв местами крайние тома.