В. Дольников

Есеп №1. $N$ қаласында, әрқайсысы 10 адамнан тұратын көптеген оппозициялық қоғам бар. Кез-келген 2004 қоғам үшін, кем дегенде олардың 11-іне мүше адам табылады. Үкімет, әрбір қоғамда кем-дегенде бір адам тұтқындалатындай, 2003 адамды тұтқындай алатынын дәлелдеңіз. ( Д. Карпов, В. Дольников )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №2. Байланысқан граф берілсін. Әрбір екі төбе, белгіленген қабырғалар құрайтын жол арқылы байланысатындай және әрбір белгіленген қабырға, түстері әртүрлі төбелерді қосатындай және ешқандай екі жасыл түсті төбе осы графтың қабырғаларымен байланыспайтындай, осы графтың барлық төбелерін жасыл және көк түске бояп, ал кейбір қабырғаларды белгідеуге болатынын дәлелдеңіз. ( В. Дольников )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №3. Жазықтықта, параллель көшіріле алатын, $n$ қара және $n$ ақ шаршылар орналасқан. Түстері әртүрлі әрбір екі шаршыда, бір ортақ нүкте бар. Кем-дегенде $n$ шаршыларға ортақ, бір нүкте бар екенін дәлелдеңіз. ( В. Дольников )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №4. Көршілес төбелер әртүрлі түсті болатындай, байланысқан графтың төбелерін $n+1$ түстен кем түске бояуға болмайды. Графтан, $n(n-1)/2$ қабырғаны, байланысты үзбей алып тастауға болатынын дәлелдеңіз. ( В. Дольников )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №5. Мемлекетте кейбір қалалар арасында бір бағыттағы әуе жолдары бар, бірнеше қалалар бар. Барлық қалалар ішінен келесідей $A$ қалалар тобын белгілеуге болатынын дәлелдеңіз:
1) $A$ тобының қалаларының арасында ешқандай әуе жол жоқ;
2) $A$ тобына жатпайтын кез келген қаладан $A$ тобының кез келген қаласына тікелей жолмен немесе арасында орналасқан бір қала арқылы жетуге болады. ( В. Дольников )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №6. Жазықтықта, параллель көшіріле алатын, $n$ қара және $n$ ақ шаршылар орналасқан. Түстері әртүрлі әрбір екі шаршыда, бір ортақ нүкте бар. Кем-дегенде $n$ шаршыларға ортақ, бір нүкте бар екенін дәлелдеңіз. ( В. Дольников )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №7. Көршілес төбелер әртүрлі түсті болатындай, байланысқан графтың төбелерін $n+1$ түстен кем түске бояуға болмайды. Графтан, $n(n-1)/2$ қабырғаны, байланысты үзбей алып тастауға болатынын дәлелдеңіз. ( В. Дольников )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №8. Мектепте $30$ үйірме бар, және әр үйірмеге $40$ бала қатысады. Әр $i=1, 2, \ldots, 30$ үшін $n_i$ арқылы дәл $i$ үйірмеге қатысатын балалар санын белгілейік. Жаңа үйірмелер үшін $n_i$ сандары сол қалпы қалатындай, осы мектепте әр үйірмеге $30$ бала қатысатындай жаңадан $40$ үйірме ұйымдастыруға болатынын дәлелдеңіз. ( В. Дольников )
комментарий/решение(1) олимпиада