А. Храбров


Задача №1.  Каждое из чисел $x$, $y$ и $z$ не меньше 0 и не больше 1. Докажите неравенство $$ \frac{{{x}^{2}}}{1+x+xyz}+\frac{{{y}^{2}}}{1+y+xyz}+\frac{{{z}^{2}}}{1+z+xyz}\leq 1.$$ ( А. Храбров )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2.  Делитель натурального числа называется собственным, если он меньше этого числа, но больше 1. У натурального числа $n$ нашли все собственные делители (их оказалось не меньше трёх) и записали всевозможные их попарные суммы (повторно одинаковые суммы не записывали). Докажите, что полученный набор не мог оказаться набором всех собственных делителей никакого натурального числа. ( А. Храбров )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3.  В квадрате $n \times n$ ($n > 2$) стоят ненулевые числа. Известно, что каждое число ровно в $k$ раз меньше, чем сумма всех чисел, стоящих с ним в одном "кресте" (т.е.\ в остальных $2n-2$ клетках той же строки и того же столбца) При каких $k$ такое возможно? ( С. Берлов, А. Храбров, Д. Ростовский )
комментарий/решение олимпиада
Задача №4.  Произведение положительных чисел $a$, $b$, $c$ и $d$ равно 1. Докажите, что $${1+ab\over 1+a}+{1+bc\over 1+b}+{1+cd\over 1+c}+{1+da\over 1+d}\geq 4.$$ ( А. Храбров )
комментарий/решение олимпиада
Задача №5.  Найдите наибольшее число $h$, удовлетворяющее следующему условию: для любого числа $a\in [0,h]$ и любого многочлена $P(x)$ степени 99, такого, что $P(0)=P(1)=0$, найдутся такие $x_1,x_2\in [0,1]$, что $P(x_1)=P(x_2)$ и $x_2-x_1=a$. ( А. Храбров, Д. Ростовский, Ф. Петров )
комментарий/решение олимпиада
Задача №6.  Неотрицательные числа $a$, $b$ и $c$ удовлетворяют условию $a^2+b^2+c^2 \geq 3$. Докажите неравенство $(a+b+c)^3\geq 9(ab+bc+ca).$ ( А. Храбров )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №7.  Существует ли такой квадратный трехчлен $f(x)$, что $f(1/2017)=1/2018$ и $f(1/2018)=1/2017$ и два его коэффициента целые? ( А. Храбров )
комментарий/решение олимпиада
Задача №8.  Дано нечётное натуральное число $a$, большее 100. На доску выписали все натуральные числа вида $\frac{a-{{n}^{2}}}{4}$, где $n$ — натуральное число. Оказалось, что при $n\le \sqrt{a/5}$ все они простые. Докажите, что и каждое из остальных выписанных на доску натуральных чисел простое или равно единице. ( А. Храбров )
комментарий/решение олимпиада
Задача №9.  Для любых положительных чисел $a$ и $b$ докажите неравенство $\sqrt {ab} \le \dfrac{1}{3} \cdot \sqrt {\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2}} + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}}.$ ( А. Храбров )
комментарий/решение олимпиада
Задача №10.  Сумма нескольких неотрицательных чисел не больше 200, а сумма их квадратов не меньше 2500. Докажите, что среди них есть четыре числа, сумма которых не меньше 50. ( А. Храбров )
комментарий/решение олимпиада
Задача №11.  Вдоль прямого шоссе Тмутаракань — Урюпинск в точках $A_1$, $A_2$, $\dots$, $A_{100}$ стоят вышки оператора сотовой связи ДПС, а в точках $B_1$, $B_2$, $\dots$, $B_{100}$ — вышки компании "Рупор". (Нумерация вышек может не совпадать с порядком их расположения вдоль шоссе.) Каждая вышка действует на расстоянии 10~км в обе стороны вдоль шоссе. Известно, что $A_iA_k \geq B_iB_k$ при любых $i$, $k\leq 100$. Докажите, что суммарная длина всех участков шоссе, охваченных сетью ДПС, не меньше, чем длина участков, охваченных сетью "Рупор". ( А. Храбров )
комментарий/решение олимпиада
Задача №12.  Дан квадратный трехчлен $f(x)=x^2+ax+b$ с целыми коэффициентами, удовлетворяющий неравенству $f(x) \geq -{9\over 10}$ при любом $x$. Докажите, что $f(x)\geq -{1\over 4}$ при любом $x$. ( А. Храбров )
комментарий/решение олимпиада
Задача №13.  При каких натуральных $n \geq 3$ числа от 1 до $n$ можно расставить по кругу так, чтобы каждое число не превосходило 60% суммы двух своих соседей? ( А. Храбров )
комментарий/решение олимпиада
Задача №14.  Для любых положительных чисел $a$, $b$ и $c$, удовлетворяющих условию $a^2+b^2+c^2=1$, докажите неравенство $${a\over a^3+bc} + {b\over b^3+ca} + {c\over c^3+ab} > 3 .$$ ( А. Храбров )
комментарий/решение олимпиада
Задача №15.  Сумма неотрицательных чисел $a$, $b$, $c$ и $d$ равна $4$. Докажите, что $(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc) \leq 8$. ( А. Храбров )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №16.  50 рыцарей короля Артура сидели за круглым столом. Перед каждым из них стоял бокал красного или белого вина. Известно, что на столе стоял хотя бы один бокал красного вина и хотя бы один бокал белого вина. Король два раза хлопнул в ладоши. После первого хлопка каждый рыцарь, перед которым стоял бокал красного вина, взял у своего левого соседа его бокал, а после второго хлопка каждый рыцарь, перед которым стоял бокал белого вина (и, возможно, что-нибудь еще), передал этот бокал левому соседу своего левого соседа. Докажите, что кто-то из рыцарей остался без вина. ( А. Храбров )
комментарий/решение олимпиада
Задача №17.  50 рыцарей короля Артура сидели за круглым столом. Перед каждым из них стоял бокал красного или белого вина. Известно, что на столе стоял хотя бы один бокал красного вина и хотя бы один бокал белого вина. Король два раза хлопнул в ладоши. После первого хлопка каждый рыцарь, перед которым стоял бокал красного вина, взял у своего левого соседа его бокал, а после второго хлопка каждый рыцарь, перед которым стоял бокал белого вина (и, возможно, что-нибудь еще), передал этот бокал левому соседу своего левого соседа. Докажите, что кто-то из рыцарей остался без вина. ( А. Храбров )
комментарий/решение олимпиада