Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2005 год


Задача №1.  В каждой клетке таблицы $3 \times 3$ стоит одно из чисел 1, 2 и 3. Дима посчитал сумму чисел в каждой строке и в каждом столбце. Какое наибольшее количество различных сумм он мог получить? ( С. Волчёнков )
комментарий/решение
Задача №2.  Точки $X$ и $Y$ — середины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$, $I$ — центр его вписанной окружности, $K$ — точка касания вписанной окружности со стороной $BC$. Биссектриса внешнего угла при вершине $B$ пересекает прямую $XY$ в точке $P$, а биссектриса внешнего угла при вершине $C$ пересекает $XY$ в точке $Q$. Докажите, что площадь четырехугольника $PKQI$ равна половине площади исходного треугольника. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Билет на трамвай стоит 1 тугрик. У 20 пассажиров имеются лишь монеты достоинством в 2 и 5 тугриков, а у кондуктора вообще ничего. Оказалось, что все пассажиры смогли заплатить за проезд и получить сдачу. Какое наименьшее суммарное количество тугриков могло быть у пассажиров? ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение
Задача №4.  Организаторы математического конгресса обнаружили, что, если любого из участников поселить в одноместный номер, то всех остальных можно будет расселить по двухместным номерам, в каждом из которых обитатели будут знакомы друг с другом. Докажите, что любой участник может организовать круглый стол по теории графов, в котором, кроме него, будет участвовать еще четное число людей, и каждый участник будет знаком с обоими своими соседями по столу. ( С. Берлов, С. Иванов )
комментарий/решение
Задача №5.  Дан квадратный трехчлен $f(x)=x^2+ax+b$ с целыми коэффициентами, удовлетворяющий неравенству $f(x) \geq -{9\over 10}$ при любом $x$. Докажите, что $f(x)\geq -{1\over 4}$ при любом $x$. ( А. Храбров )
комментарий/решение
Задача №6.  Вдоль прямого шоссе Тмутаракань — Урюпинск в точках $A_1$, $A_2$, $\dots$, $A_{100}$ стоят вышки оператора сотовой связи ДПС, а в точках $B_1$, $B_2$, $\dots$, $B_{100}$ — вышки компании "Рупор". (Нумерация вышек может не совпадать с порядком их расположения вдоль шоссе.) Каждая вышка действует на расстоянии 10~км в обе стороны вдоль шоссе. Известно, что $A_iA_k \geq B_iB_k$ при любых $i$, $k\leq 100$. Докажите, что суммарная длина всех участков шоссе, охваченных сетью ДПС, не меньше, чем длина участков, охваченных сетью "Рупор". ( А. Храбров )
комментарий/решение
Задача №7.  Точка $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Точки $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $AC$ и $AB$ соответственно. Известно, что $\angle BIC_1 + \angle CIB_1 = 180^\circ$. Докажите равенство $AB+AC=3BC$. ( Д. Ростовский, Ф. Бахарев )
комментарий/решение
Задача №8.  Последовательность натуральных чисел строится по следующему правилу: каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением произведения всех его различных простых делителей (например, после числа 12 должно идти число 18, а после числа 125 — число 130). Докажите, что любые две последовательности, построенные таким образом, имеют общий член. ( А. Голованов )
комментарий/решение