Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2004 год


Задача №1.  Существуют ли такая последовательность действительных чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\dots$ и такой непостоянный многочлен $P(x)$, что $a_m+a_n=P(mn)$ для любых натуральных $m$ и $n$? ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №2.  На плоскости провели 100 прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке, и отметили все точки их пересечения. После этого все прямые и $k$ отмеченных точек стерли. При каком наибольшем $k$ по оставшимся точкам пересечения заведомо можно восстановить исходные прямые? ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №3.  В окружность с центром $O$ и радиусом 1 вписан остроугольный треугольник $ABC$, все углы которого больше $45^\circ$. Из точки $B$ опущен перпендикуляр $BB_1$ на прямую $CO$, а из точки $B_1$ опущен перпендикуляр $B_1B_2$ на прямую $AC$. Точно так же из точки $C$ опущен перпендикуляр $CC_1$ на прямую $BO$, а из точки $C_1$ опущен перпендикуляр $C_1C_2$ на прямую $AB$. Прямые $B_1B_2$ и $C_1C_2$ пересекаются в точке $A_3$. Аналогично определяются точки $B_3$ и $C_3$. Найдите радиус описанной окружности треугольника $A_3B_3C_3$. ( Ф. Петров, Ф. Бахарев )
комментарий/решение
Задача №4.  В городе N. существует множество оппозиционных обществ, каждое из которых состоит из 10 членов. Известно, что для любых 2004 обществ найдется человек, состоящий хотя бы в 11 из них. Докажите, что правительство может арестовать 2003 человека так, чтобы в каждом обществе хотя бы один член был арестован. ( Д. Карпов, В. Дольников )
комментарий/решение
Задача №5.  50 рыцарей короля Артура сидели за круглым столом. Перед каждым из них стоял бокал красного или белого вина. Известно, что на столе стоял хотя бы один бокал красного вина и хотя бы один бокал белого вина. Король два раза хлопнул в ладоши. После первого хлопка каждый рыцарь, перед которым стоял бокал красного вина, взял у своего левого соседа его бокал, а после второго хлопка каждый рыцарь, перед которым стоял бокал белого вина (и, возможно, что-нибудь еще), передал этот бокал левому соседу своего левого соседа. Докажите, что кто-то из рыцарей остался без вина. ( А. Храбров )
комментарий/решение
Задача №6.  Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$. Прямая $PQ$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $X$ и $Y$. Найдите $\angle XBY$, если $\angle ABC = 90^\circ$. ( А. Смирнов )
комментарий/решение
Задача №7.  В клетках доски $n \times n$ расставлены нули и единицы. Во всех клетках левого столбца стоят единицы, и в каждой фигурке вида (состоящей из клетки и ее соседей слева и снизу) сумма чисел четна. Докажите, что в таблице нет двух одинаковых строк. ( О. Ванюшина )
комментарий/решение
Задача №8.  О натуральных числах $m$ и $n$ известно, что $m > n^{n-1}$ и все числа $m+1$, $m+2$, $\dots$, $m+n$ — составные. Докажите, что существуют такие различные простые числа $p_1$, $p_2$, $\dots$, $p_n$, что $m+k$ делится на $p_k$ при $k = 1$, 2, $\dots$, $n$. ( C.A.Grimm )
комментарий/решение