А. Храбров


Есеп №1. Әр $x$, $y$ және $z$ саны 0-ден кем емес және 1-ден үлкен емес. Келесі теңсіздікті дәлелдеңдер $\dfrac{{{x}^{2}}}{1+x+xyz}+\dfrac{{{y}^{2}}}{1+y+xyz}+\dfrac{{{z}^{2}}}{1+z+xyz}\le 1$. ( А. Храбров )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №2. Егер натурал санның бөлгіші сол саннан кіші бірақ 1-ден үлкен болса, онда ол бөлгішті өздік бөлгіш деп атаймыз. Натурал $n$ санының барлың өздік бөлгіштерін тауып шығып(олардың саны 3-тен кем емес болып шыққан), барлық мүмкін кез келген екеуінің қосындысын жазған (екінші рет қайталанған қосындыны жазбаған). Олай болса пайда болған жиын ешқандай санның өздік бөлгіштер жиынымен беттеспейтінін дәлелде. ( А. Храбров )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №3. $n\times n$ $(n > 2)$ квадратында нөлге тең емес сандар орналасқан. Әрбір сан, сол санмен бір «крестте» (яғни осы сан орналасқан баған мен жолдағы қалған $2n-2$ торларда) орналасқан барлық сандар қосындысынан $k$ есе кіші екендігі белгілі. $k$ қандай болғанда осы шарт орындалады? ( С. Берлов, А. Храбров, Д. Ростовский )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №4. Көбейтіндісі 1-ге тең болатын оң $a$, $b$ және $c$ сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіздер: $\dfrac{1+ab}{1+a}+\dfrac{1+bc}{1+b}+\dfrac{1+cd}{1+c}+\dfrac{1+da}{1+d}\ge 4.$ ( А. Храбров )
комментарий/решение(4) олимпиада
Есеп №5. Келесі шарттарды қанағаттандыратын, ең үлкен $h$ санын табыңыз: кез-келген $a\in \left[ 0,h \right]$ саны үшін, $P\left( 0 \right)=P\left( 1 \right)=0$ болатындай, 99 дәрежелі кез-келген $P\left( x \right)$ көпмүшесі үшін $P\left( {{x}_{1}} \right)=P\left( {{x}_{2}} \right)$ және ${{x}_{2}}-{{x}_{1}}=a$ болатындай, ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left[ 0,1 \right]$ табылады. ( А. Храбров, Д. Ростовский, Ф. Петров )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №6. Теріс емес $a$, $b$ және $c$ сандары ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 3$ шартын қанағаттандырса, келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: ${{(a+b+c)}^{3}}\ge 9(ab+bc+ca)$. ( А. Храбров )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №7. Екі коэффициенті бүтін, $f\left( 1/2017 \right)=1/2018$ және $f\left( 1/2018 \right)=1/2017$ болатындай$f\left( x \right)$ квадрат үшмүше табылады ма? ( А. Храбров )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №8. 100-ден үлкен натурал тақ $a$ саны берілген. Тақтаға $\frac{a-{{n}^{2}}}{4}$ түріндегі барлық натурал сандарды жазып шықты, бұл жерде $n$ — натурал сан. $n\le \sqrt{a/5}$ болған жағдайда, олардың барлығы жай сандар екені белгілі. Ондай болса, қалған жазылған сандардың барлығы да жай немесе 1-ге тең сан екенін дәлелдеңіз. ( А. Храбров )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №9. Кез-келген оң $a$ және $b$ сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: $\sqrt{ab}\le \dfrac{1}{3}\cdot \sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}}+\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}.$ ( А. Храбров )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №10. Бірнеше теріс емес сандардың қосындысы 200-ден көп емес, ал осы сандардың квадраттарының қосындысы 2500-ден кем емес болсын. Осы сандардың арасында, қосындысы 50-ден кем емес төрт сан бар екенін дәлелдеңіз. ( А. Храбров )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №11. Тьмутаракань – Урюпинск түзу шоссесінде ${{A}_{1}},{{A}_{2}},\ldots,{{A}_{100}}$ нүктелерінде ДПС ұялы байланыс операторының бағандары тұр, ал ${{B}_{1}},{{B}_{2}},\ldots,{{B}_{100}}$ нүктелерінде «Рупор» компаниясының бағандары тұр (бағандарының нөмірлері олардың шоссе бойымен орналасу ретімен сәйкес келмеуі мүмкін) әрбір баған шоссе бойымен екі жаққа он километр қашықтыққа әсер етеді. Кез келген $i,k\le 100$ үшін ${{A}_{i}}{{A}_{k}}\ge {{B}_{i}}{{B}_{k}}$ орындалады. ДПС торымен қамтылған шоссенің барлық бөліктерінің қосындыларының ұзындығы «Рупор» торымен қамтылған бөліктерінің ұзындығынан кіші емес екенін дәлелде. ( А. Храбров )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №12. Кез келген $x$ үшін $f\left( x \right)\ge -\dfrac{9}{10}$ теңсіздігін қанағаттандыратын бүтін коэффициентті квадрат үшмүшелігі берілген. Кез келген $x$ үшін $f\left( x \right)\ge -\dfrac{1}{4}$ болатынын дәлелде. ( А. Храбров )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №13. Қандай натурал $n\ge 3$ үшін, 1-ден $n$-ге дейінгі сандарды шеңбер бойымен, әр сан көршілерінің қосындысының 60%-ынан аспайтындай орналастыруға болады? ( А. Храбров )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №14.  ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1$, шартын қанағаттандыратын кез келген оң $a,b,c$ сандары үшін $\dfrac{a}{{{a}^{3}}+bc}+\dfrac{b}{{{b}^{3}}+ca}+\dfrac{c}{{{c}^{3}}+ab} > 3$ теңсіздігін дәлелде. ( А. Храбров )
комментарий/решение(5) олимпиада
Есеп №15. Теріс емес $a$, $b$, $c$ және $d$ сандарының қосындысы $4$-ке тең. $(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc) \leq 8$ теңсіздігін дәлелдеңіздер. ( А. Храбров )
комментарий/решение(4) олимпиада
Есеп №16. Дөңгелек үстелде, Артур патшаның 50 серісі отырды. Әрқайсысының алдында ақ немесе қызыл түсті вино құйылған бокал тұрды. Үстелде кем-дегенде бір қызыл түсті және ақ түсті вино құйылған бокал тұрғаны белгілі. Патша екі рет алақанымен қол соқты. Бірінші қол соғудан кейін, алдында қызыл түсті виносы бар сері сол жағындағы көршісінің бокалын өзіне алды, ал екінші қол соғудан кейін, алдында ақ виносы бар сері (басқа да нәрсе болуы мүмкін), осы бокалды сол жағындағы көршісінің сол жағындағы көршісіне берді. Серілердің біреуі виносыз қалғанын дәлелдеңіз. ( А. Храбров )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №17. Дөңгелек үстелде, Артур патшаның 50 серісі отырды. Әрқайсысының алдында ақ немесе қызыл түсті вино құйылған бокал тұрды. Үстелде кем-дегенде бір қызыл түсті және ақ түсті вино құйылған бокал тұрғаны белгілі. Патша екі рет алақанымен қол соқты. Бірінші қол соғудан кейін, алдында қызыл түсті виносы бар сері сол жағындағы көршісінің бокалын өзіне алды, ал екінші қол соғудан кейін, алдында ақ виносы бар сері (басқа да нәрсе болуы мүмкін), осы бокалды сол жағындағы көршісінің сол жағындағы көршісіне берді. Серілердің біреуі виносыз қалғанын дәлелдеңіз. ( А. Храбров )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №18.  Петя выбирает такие неотрицательные числа $x_1,$ $x_2,$ $\ldots,$ $x_{11},$ что их сумма равна 1. Вася расставляет их в ряд по своему усмотрению, считает произведения соседних чисел и выписывает на доску наибольшее из получившихся десяти произведений. Петя хочет, чтобы число на доске оказалось как можно больше, Вася хочет, чтобы оно было как можно меньше. Какое число окажется на доске при наилучшей игре Пети и Васи? ( А. Храбров )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №19.  Положительные числа $a,$ $b,$ $c$ и $d$ не превосходят единицы. Докажите неравенство $$\frac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}\ge \frac{1}{4}+(1-a)(1-b)(1-c)(1-d).$$ ( А. Храбров )
комментарий/решение(2) олимпиада