қазақша
русскийОлимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2009 год
Задача №1. Все клетки доски $20\times 20$ пусты. Миша и Саша по очереди (начинает Миша)
ставят по одной фишке в свободные клетки. Игрок, после хода которого
на доске нашлись четыре фишки, стоящие на пересечении двух строк и двух
столбцов, выигрывает. Кто выиграет при правильной игре?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. $P(x)$ — квадратный трехчлен. Какое наибольшее количество членов, равных
сумме двух предыдущих, может быть в последовательности $P(1)$,
$P(2)$, $P(3)$, $\dots$?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $AD$ равны,
$CD > AB+BC$. Докажите, что $\angle ABC > 120^\circ$.
(
из материалов олимпиад
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Каждое из подмножеств $A_1$, $A_2$, $\dots$, $A_n$ 2009-элементного множества
$X$ содержит не менее 4 элементов. Пересечение любых двух из этих
подмножеств содержит не более 2 элементов. Докажите, что в $X$ можно найти
24-элеметное подмножество $B$, не содержащее ни одного из множеств
$A_1$, $A_2$, $\dots$, $A_n$.
(
из материалов олимпиад
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Фокусник просит зрителя задумать трехзначное число $\overline{abc}$, а затем
назвать ему сумму чисел $\overline{acb}$, $\overline{bac}$, $\overline{bca}$, $\overline{cab}$ и
$\overline{cba}$. Он утверждает, что узнав эту сумму, сможет назвать исходное
число. Не обманывает ли он?
(
Фольклор
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №6. Точка $M$ — середина основания $BC$ трапеции $ABCD$. На основании
$AD$ выбрана точка $P$. Прямая $PM$ пересекает прямую $CD$ в точке
$Q$, причем $C$ лежит между $Q$ и $D$. Перпендикуляр к основаниям,
проведенный через точку $P$, пересекает прямую $BQ$ в точке $K$. Докажите,
что $\angle QBC = \angle KDA$.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №7. Расстановку фишек в клетках квадрата $n\times n$ назовем редкой, если в
любом квадрате $2\times 2$ стоит не более 3 фишек. Сергей поставил в
некоторые клетки доски по одной фишке так, что получилась редкая
расстановка. Он заметил, однако, что если переставить любую фишку на
любую свободную клетку, то перестановка перестанет быть
редкой. При каких $n$ это возможно?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. Сумма нескольких неотрицательных чисел не больше 200, а сумма их квадратов
не меньше 2500. Докажите, что среди них есть четыре числа, сумма которых
не меньше 50.
(
А. Храбров
)
комментарий/решение
комментарий/решение