Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2004 год


Задача №1.  На доске написано положительное рациональное число. Каждую минуту Вася заменяет написанное на доске число $r$ на $\sqrt{r+1}$. Докажите, что когда-нибудь он получит иррациональное число. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение
Задача №2.  При каких натуральных $n \geq 3$ числа от 1 до $n$ можно расставить по кругу так, чтобы каждое число не превосходило 60% суммы двух своих соседей? ( А. Храбров )
комментарий/решение
Задача №3.  Точка $O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. Некоторая окружность проходит через точки $B$ и $C$ и пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника. На ее дуге, лежащей внутри треугольника, выбраны точки $D$ и $E$ так, что отрезки $BD$ и $CE$ проходят через точку $O$. Перпендикуляр $DD_1$ к стороне $AB$ и перпендикуляр $EE_1$ к стороне $AC$ пересекаются в точке $M$. Докажите, что точки $A$, $M$ и $O$ лежат на одной прямой. ( Ф. Бахарев )
комментарий/решение
Задача №4.  Даны непересекающиеся конечные множества натуральных чисел $A$ и $B$, состоящие из $n$ и $m$ элементов соответственно. Известно, что каждое натуральное число, принадлежащее $A$ или $B$, удовлетворяет хотя бы одному из условий $k+17 \in A$, $k-31 \in B$. Докажите, что $17n=31m$. ( C.Gonciulea )
комментарий/решение
Задача №5.  50 рыцарей короля Артура сидели за круглым столом. Перед каждым из них стоял бокал красного или белого вина. Известно, что на столе стоял хотя бы один бокал красного вина и хотя бы один бокал белого вина. Король два раза хлопнул в ладоши. После первого хлопка каждый рыцарь, перед которым стоял бокал красного вина, взял у своего левого соседа его бокал, а после второго хлопка каждый рыцарь, перед которым стоял бокал белого вина (и, возможно, что-нибудь еще), передал этот бокал левому соседу своего левого соседа. Докажите, что кто-то из рыцарей остался без вина. ( А. Храбров )
комментарий/решение
Задача №6.  Назовем натуральное число хорошим, если сумма обратных величин всех его натуральных делителей — целая. Докажите, что если $m$ — хорошее число, а $p > m$ — простое, то число $pm$ не является хорошим. ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №7.  Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$. Прямая $PQ$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $X$ и $Y$. Найдите $\angle XBY$, если $\angle ABC = 90^\circ$. ( А. Смирнов )
комментарий/решение
Задача №8.  В клетках доски $n \times n$ расставлены нули и единицы. Во всех клетках левого столбца стоят единицы, и в каждой фигурке вида (состоящей из клетки и ее соседей слева и снизу) сумма чисел четна. Докажите, что в таблице нет двух одинаковых строк.
комментарий/решение