Областная олимпиада по математике, 2011 год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Каждая точка плоскости покрашена в один из трех цветов — синий, красный или зеленый. Верно ли, что обязательно найдется отрезок длины 1, концы которого покрашены одним цветом?
комментарий/решение(1)

Задача №2. Докажите, что для натуральных чисел

$a$ и

$b$ справедливо неравенство

$a\cdot (a,b)+b\cdot [a,b]\geq 2ab$ , где

$(a,b)$ — наибольший общий делитель, a

$[a,b]$ — наименьшее общее кратное чисел

$a$ и

$b$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Внутри треугольника

$ABC$ выбрана точка

$P$ .

$AP$ пересекает

$BC$ в точке

$A'$ ,

$BP$ пересекает

$CA$ в точке

$B'$ ,

$CP$ пересекает

$AB$ в точке

$C'$ . Известно, что

$\frac{AP}{PA'}+\frac{BP}{PB'}+\frac{CP}{PC'}=2011$ . Какие значения может принимать величина

$\frac{AP}{PA'}\cdot\frac{BP}{PB'}\cdot\frac{CP}{PC'}?$
комментарий/решение(1)

Задача №4. Пусть

$a$ ,

$b$ ,

$c$ — фиксированные действительные числа, причем

$0\leq a,b,c\leq4$ . Докажите, что у системы уравнений

$\left\{ \begin{array}{rcl} p^2-aq & = & -3, \\ q^2-br & = & -4, \\ r^2-cp & = & -5, \\ \end{array} \right.$ нет ни одного решения

$(p,q,r)$ в действительных числах.
комментарий/решение(1)

Задача №5. В остроугольном треугольнике

$ABC$ проведена биссектриса

$AD$ ,

$M$ и

$N$ — соответственно середины сторон

$AB$ и

$AC$ . Докажите, что величина угла

$MDN$ не меньше величины угла

$BAC$ .
комментарий/решение(2)

Задача №6. У кассирши в одной пачке 200 денежных купюр. Она должна все купюры в пачке перевернуть лицевой стороной вверх; причем порядок купюр в пачке не имеет значения. На каждом шагу она выбирает некоторое количество купюр, лежащих в пачке подряд, и переворачивает всю выбранную часть пачки. Найдите наименьшее возможное число шагов, которого достаточно при любом изначальном положении купюр, чтобы перевернуть все имеющиеся в пачке купюры лицевой стороной вверх.
комментарий/решение(2)