Областная олимпиада по математике, 2011 год, 9 класс

Каждая точка плоскости покрашена в один из трех цветов — синий, красный или зеленый. Верно ли, что обязательно найдется отрезок длины 1, концы которого покрашены одним цветом?

Комментарий/решение

Точки А,В,С вершины равностороннего треугольника длины 1. Очевидно что эти вершины покрашены в разные цвета. В противном случае одна из его сторон соединяет точки которые покрашены в один и тот же цвет. Теперь на стороне АВ построим внешним образом равносторонний треугольник АВМ. Из условия следует что вершины М и С покрашены в один и тот же цвет. Таким образом мы имеем окружность с центром С и радиусом СМ. Причем геометрические места точек М покрашены в один и тот же цвет. То есть на окружности обязательно найдется хорда длины 1 концы которого соединяет г.м.т М , то есть точки которые покрашены в одинаковый цвет.