Областная олимпиада по математике, 2011 год, 9 класс

Внутри треугольника $ABC$ выбрана точка $P$. $AP$ пересекает $BC$ в точке $A'$, $BP$ пересекает $CA$ в точке $B'$, $CP$ пересекает $AB$ в точке $C'$. Известно, что $\frac{AP}{PA'}+\frac{BP}{PB'}+\frac{CP}{PC'}=2011$. Какие значения может принимать величина $\frac{AP}{PA'}\cdot\frac{BP}{PB'}\cdot\frac{CP}{PC'}?$

Комментарий/решение

Можно воспользоваться теоремой Ван-Обеля , получим следующее

$ \dfrac{AP}{PA'}=\dfrac{AB_{1}}{B_{1}C}+\dfrac{AC_{1}}{C_{1}B}=\dfrac{x}{y}+\dfrac{b}{a}=n$

$ \dfrac{BP}{PB'}=\dfrac{BC_{1}}{C_{1}A}+\dfrac{BA_{1}}{A_{1}C}=\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{w}=m$

$ \dfrac{CP}{PC'}=\dfrac{CA_{1}}{A_{1}B}+\dfrac{CB_{1}}{B_{1}A}=\dfrac{w}{z}+\dfrac{a}{b}=u$

Тогда произведение $N=(\dfrac{x}{y}+\dfrac{b}{a})(\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{w})(\dfrac{w}{z}+\dfrac{a}{b})=\dfrac{axz}{bwy}+\dfrac{bwy}{axz}+n+m+u=\dfrac{axz}{bwy}+\dfrac{bwy}{axz}+2011$.

Из теоремы Чевы $\dfrac{axz}{bwy}=1$, тогда $N=2013$.