Математикадан облыстық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 9 сынып

$ABC$ үшбұрышының ішінен $P$ нүктесі таңдалған. $AP$ түзуі $BC$ қабырғасын $A'$ нүктесінде, $BP$ түзуі $CA$ қабырғасын $B'$ нүктесінде, ал $CP$ түзуі $AB$ қабырғасын $C'$ нүктесінде қияды. $\dfrac{AP}{PA'}+\dfrac{BP}{PB'}+\dfrac{CP}{PC'}=2011$ екені белгілі. Келесі өрнек қандай мәндер қабылдауы мүмкін: $\dfrac{AP}{PA'}\cdot\dfrac{BP}{PB'}\cdot\dfrac{CP}{PC'}?$

Комментарий/решение

Можно воспользоваться теоремой Ван-Обеля , получим следующее

$ \dfrac{AP}{PA'}=\dfrac{AB_{1}}{B_{1}C}+\dfrac{AC_{1}}{C_{1}B}=\dfrac{x}{y}+\dfrac{b}{a}=n$

$ \dfrac{BP}{PB'}=\dfrac{BC_{1}}{C_{1}A}+\dfrac{BA_{1}}{A_{1}C}=\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{w}=m$

$ \dfrac{CP}{PC'}=\dfrac{CA_{1}}{A_{1}B}+\dfrac{CB_{1}}{B_{1}A}=\dfrac{w}{z}+\dfrac{a}{b}=u$

Тогда произведение $N=(\dfrac{x}{y}+\dfrac{b}{a})(\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{w})(\dfrac{w}{z}+\dfrac{a}{b})=\dfrac{axz}{bwy}+\dfrac{bwy}{axz}+n+m+u=\dfrac{axz}{bwy}+\dfrac{bwy}{axz}+2011$.

Из теоремы Чевы $\dfrac{axz}{bwy}=1$, тогда $N=2013$.