Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 9 сынып


ABC үшбұрышының ішінен P нүктесі таңдалған. AP түзуі BC қабырғасын A нүктесінде, BP түзуі CA қабырғасын B нүктесінде, ал CP түзуі AB қабырғасын C нүктесінде қияды. APPA+BPPB+CPPC=2011 екені белгілі. Келесі өрнек қандай мәндер қабылдауы мүмкін: APPABPPBCPPC?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
9 года 2 месяца назад #

Можно воспользоваться теоремой Ван-Обеля , получим следующее

APPA=AB1B1C+AC1C1B=xy+ba=n

BPPB=BC1C1A+BA1A1C=yx+zw=m

CPPC=CA1A1B+CB1B1A=wz+ab=u

Тогда произведение N=(xy+ba)(yx+zw)(wz+ab)=axzbwy+bwyaxz+n+m+u=axzbwy+bwyaxz+2011.

Из теоремы Чевы axzbwy=1, тогда N=2013.