Областная олимпиада по математике, 2011 год, 9 класс

Докажите, что для натуральных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство $a\cdot (a,b)+b\cdot [a,b]\geq 2ab$, где $(a,b)$ — наибольший общий делитель, a $[a,b]$ — наименьшее общее кратное чисел $a$ и $b$.

Комментарий/решение

По неравенству Коши:

$a(a,b)+b[a,b] \ge 2\sqrt{a(a,b)b[a,b]}=2ab$

Пусть $a=d*n$, a $b=d*m$, где $d=(a,b)$, а $m$ и $n$ - натуральные взаимно простые числа, тогда выражение преобразуется:

$dn*d+dm*dnm\geq2dndm$

$d^2n+d^2nm^2\geq2d^2nm$

Делим на $d^2n$:

$1+m^2\geq2m$

$m^2-2m+1\geq0$

$(m-1)^2\geq0$

Это неравенство будет справедливым, так как квадрат числа не может быть отрицательным