қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 9 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. Жазықтықта нүктелердің әрбірі көк, қызыл немесе жасыл түстерінің біріне боялған. Ұзындығы 1-ге тең, екі шетіндегі нүктелер түсі бірдей болып келетін кесінді әрқашан табылады деген тұжырым дұрыс па?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $a$ және $b$ натурал сандары үшін $a\cdot (a,b)+b\cdot [a,b]\geq 2ab$ теңсіздігін дәлеледеңіздер, мұндағы $(a,b)$ —$a$ және $b$ сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші, ал $[a,b]$ —ең кіші ортақ еселігі.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $ABC$ үшбұрышының ішінен $P$ нүктесі таңдалған. $AP$ түзуі $BC$ қабырғасын $A'$ нүктесінде, $BP$ түзуі $CA$ қабырғасын $B'$ нүктесінде, ал $CP$ түзуі $AB$ қабырғасын $C'$ нүктесінде қияды. $\dfrac{AP}{PA'}+\dfrac{BP}{PB'}+\dfrac{CP}{PC'}=2011$ екені белгілі. Келесі өрнек қандай мәндер қабылдауы мүмкін: $\dfrac{AP}{PA'}\cdot\dfrac{BP}{PB'}\cdot\dfrac{CP}{PC'}?$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $a$, $b$, $c$ — мөлшерленген нақты сандар және $0\leq a,b,c\leq4$. Теңдеулер жүйесінің нақты сандар жүйесінде $(p,q,r)$ шешімдері табылмайтынын дәлелдеңіздер: $$
\left\{
\begin{array}{rcl}
p^2-aq & = & -3, \\
q^2-br & = & -4, \\
r^2-cp & = & -5, \\
\end{array}
\right.
$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышында $AD$ биссектрисасы жүргізілген, $M$ және $N$ нүктелері сәйкесінше $AB$ және $AC$ қабырғаларының орталары. $MDN$ бұрышының мәні $BAC$ бұрышынан кем емес екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №6. Кассирде бір қорапта 200 ақша купюрасы бар. Ол қораптағы барлық купюраны бет жағын жоғары қаратып аударып шығу керек; ал купюралардың реті маңызды емес. Әрбір жүрісте қорапта жатқан бірнеше қатар тұрған купюраны таңдап, оларды аударады. Кез келген кораптағы купюралардың орналасуында барлық купюралар бет жағы жоғары қарап жататындай ең аз дегенде қанша жүріс жасау керек?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)