Областная олимпиада по математике, 2011 год, 9 класс
Пусть a, b, c — фиксированные действительные числа, причем 0≤a,b,c≤4.
Докажите, что у системы уравнений
{p2−aq=−3,q2−br=−4,r2−cp=−5,
нет ни одного решения (p,q,r) в действительных числах.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
От противного. Пусть решении есть. Если просуммировать все уравнение в системе уравнений:
p2+q2+r2−aq−br−cp=−12, первый если прибавить a2+b2+c24 :
A=(p−c/2)2+(q−a/2)2+(r−b/2)2+12=a2+b2+c24. Но A≥12=42+42+424≥a2+b2+c24. И равенство при A=12 и a=b=c=4. Тогда p=q=r=2. И тогда p2−aq=22−4•2=−4, но−4 не равно −3. Противоречие.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.