Областная олимпиада по математике, 2011 год, 9 класс

Пусть $a$, $b$, $c$ — фиксированные действительные числа, причем $0\leq a,b,c\leq4$. Докажите, что у системы уравнений $$\left\{ \begin{array}{rcl} p^2-aq & = & -3, \\ q^2-br & = & -4, \\ r^2-cp & = & -5, \\ \end{array} \right.$$ нет ни одного решения $(p,q,r)$ в действительных числах.

Комментарий/решение

От противного. Пусть решении есть. Если просуммировать все уравнение в системе уравнений:

$p^2+q^2+r^2-aq-br-cp=-12$, первый если прибавить $\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4}$ :

$$A=(p-c/2)^2+(q-a/2)^2+(r-b/2)^2+12=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4}$$ . Но $A\geq12=\dfrac{4^2+4^2+4^2}{4}\geq\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4}$. И равенство при $A=12$ и $a=b=c=4$. Тогда $p=q=r=2$. И тогда $p^2-aq=2^2-4•2=-4$, но$-4$ не равно $-3$. Противоречие.