Областная олимпиада по математике, 2011 год, 9 класс
Пусть $a$, $b$, $c$ — фиксированные действительные числа, причем $0\leq a,b,c\leq4$.
Докажите, что у системы уравнений
$$
\left\{
\begin{array}{rcl}
p^2-aq & = & -3, \\
q^2-br & = & -4, \\
r^2-cp & = & -5, \\
\end{array}
\right.
$$
нет ни одного решения $(p,q,r)$ в действительных числах.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
От противного. Пусть решении есть. Если просуммировать все уравнение в системе уравнений:
$p^2+q^2+r^2-aq-br-cp=-12$, первый если прибавить $\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4}$ :
$$A=(p-c/2)^2+(q-a/2)^2+(r-b/2)^2+12=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4}$$. Но $A\geq12=\dfrac{4^2+4^2+4^2}{4}\geq\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4}$. И равенство при $A=12$ и $a=b=c=4$. Тогда $p=q=r=2$. И тогда $p^2-aq=2^2-4•2=-4$, но$-4$ не равно $-3$. Противоречие.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.