Processing math: 100%

Областная олимпиада по математике, 2011 год, 9 класс


Пусть a, b, c — фиксированные действительные числа, причем 0a,b,c4. Докажите, что у системы уравнений {p2aq=3,q2br=4,r2cp=5, нет ни одного решения (p,q,r) в действительных числах.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  8
6 года 2 месяца назад #

От противного. Пусть решении есть. Если просуммировать все уравнение в системе уравнений:

p2+q2+r2aqbrcp=12, первый если прибавить a2+b2+c24 :

A=(pc/2)2+(qa/2)2+(rb/2)2+12=a2+b2+c24. Но A12=42+42+424a2+b2+c24. И равенство при A=12 и a=b=c=4. Тогда p=q=r=2. И тогда p2aq=2242=4, но4 не равно 3. Противоречие.