Областная олимпиада по математике, 2021 год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Изначально все клетки доски

$2021 \times 2021$ белые. Арман и Бахытжан играют в такую игру. Сначала Арман закрашивает

$n$ квадратиков в красный цвет. Затем Бахытжан выбирает 1011 строк и 1011 столбцов и перекрашивает все ячейки в выбранных строках и столбцах в чёрный цвет. Арман выигрывает в том случае, если осталась хотя бы одна красная клетка, в противном случае выигрывает Бахытжан. При каком наименьшем

$n$ Арман гарантирует себе победу, независимо от того, как будет действовать Бахытжан?
комментарий/решение(3)

Задача №2. Дан треугольник

$ABC,$ в котором

$AB=AC+\frac{BC}{2}.$ На стороне

$BC$ отметили точки

$P,$

$Q$ и

$R$ так, что

$BP = PQ = QR = RC.$ Прямые

$AP$ и

$AR$ пересекают серединный перпендикуляр к

$PQ$ соответственно в точках

$X$ и

$Y$ . На отрезке

$XY,$ как на диаметре, построена окружность

$\Omega$ . Докажите, что

$\Omega$ проходит через точки

$B$ и

$R.$
комментарий/решение(7)

Задача №3. Покажите, что существует бесконечно много натуральных чисел

$n$ таких, что

$\dfrac{{{8^n} - 1}}{{{n^2} + n + 1}}$ также является натуральным числом.
комментарий/решение(2)

Задача №4. Пусть

$a,$

$b,$

$c,$

$d$ — положительные целые числа такие, что

$24a^2 + 2b^2 + 20c^2 + 21d^2 = 24a + 2b + 20c + 21d.$ Найдите наименьшее значение выражения

$A = \sqrt {\frac{a}{{b(24 + 2b + 20c + 21d)}}} + \sqrt {\frac{b}{{c(24a + 2 + 20c + 21d)}}} + \sqrt {\frac{c}{{d(24 + 2b + 20 + 21d)}}} + \sqrt {\frac{d}{{a(24 + 2b + 20c + 21)}}} .$
комментарий/решение(3)

Задача №5. Дан остроугольный треугольник

$ABC,$ в котором

$\angle B < \angle C.$ Пусть

$I$ — центр вписанной окружности,

$O$ — центр описанной окружности,

$H$ — ортоцентр треугольника

$ABC$ . Пусть вписанная в треугольник

$ABC$ окружность касается стороны

$BC$ в точке

$D,$ и

$AO$ параллельна

$HD.$ Точка

$E$ — точка пересечения прямых

$OD$ и

$AH,$ точка

$F$ — середина отрезка

$CI.$ Докажите, что точки

$I,$

$O,$

$E$ и

$F$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(7)

Задача №6. При каких натуральных

$n$ число

$(n-1)!$ делится на

$n^3?$
комментарий/решение(5)