Областная олимпиада по математике, 2021 год, 11 класс
Комментарий/решение:
Возьмем на прямой AC точку D такую что CD=CQ так как AB=AC+BC2=AC+CQ=AC+CD=AD и выполняется CD2=CQ2=CR⋅BC=4CR2 так как BP=PQ=QR=RC тогда AD,AB являются касательными к окружности W которая проходит через R и касается AD,AB которая задается однозначно, с другой стороны докажем что BX биссектриса ABC, если PB=y тогда и пусть известно что FX (F-середина QP ) серединный перпендикуляр и пусть A∈PX∩AB где BX биссектриса BC и ABC=2b, тогда PX=y√1+9tg2(b)2 (1) из свойств биссектрисы AP=PX(AB+y)y тогда из APB по теореме косинусов , получается AB=y(PX2+2y2)y2−PX2 подставляя (1), откуда AB=3y2cos2b−1 тогда AB=AC+BC2 значит BXRY вписанный.
Если D∈AB∩FX значит Ω окружность Аполлония для точек F,D .
Введем прямоугольную систему координат XOY, с началом координат в середине отрезка PQ, осью OX лежащей на прямой BC и пусть Q(x0;0),A(a;y0). Тогда по условию, P(−x0;0),B(−3x0;0),R(3x0;0),C(5x0;0), а серединный перпендикуляр к PQ будет представлять прямую x=0. Проводя через пары точек A,P и A,R прямые и выбирая на этих прямых точку с нулевой координатой, находим координаты точек X и Y, а именно X(0;x0y0a+x0),Y(0;−3x0y0a−3x0).
В силу того, что XY - серединный перпендикуляр также и к отрезку BR, то △XBY=△XRY и доказуемое утверждение задачи будет равносильно тому, что △XRY - прямоугольный при гипотенузе XY, т.е. тому, что XR2+RY2=XY2. Последнее равенство в нашей системе XOY будет равносильно y2=3a2−6ax0−9x20, а это равенство получается напрямую путем преобразования условия AB=AC+BC2.
Подскажите пожалуйста, как прийти к тому что X (0; x0y0/a+x0)? Интересует именно для координаты на оси y. Тоже самое хотел бы узнать и про координаты точки Y
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.