Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2021 год, 11 класс


Дан треугольник ABC, в котором AB=AC+BC2. На стороне BC отметили точки P, Q и R так, что BP=PQ=QR=RC. Прямые AP и AR пересекают серединный перпендикуляр к PQ соответственно в точках X и Y. На отрезке XY, как на диаметре, построена окружность Ω. Докажите, что Ω проходит через точки B и R.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   2
4 года назад #

Возьмем на прямой AC точку D такую что CD=CQ так как AB=AC+BC2=AC+CQ=AC+CD=AD и выполняется CD2=CQ2=CRBC=4CR2 так как BP=PQ=QR=RC тогда AD,AB являются касательными к окружности W которая проходит через R и касается AD,AB которая задается однозначно, с другой стороны докажем что BX биссектриса ABC, если PB=y тогда и пусть известно что FX (F-середина QP ) серединный перпендикуляр и пусть APXAB где BX биссектриса BC и ABC=2b, тогда PX=y1+9tg2(b)2 (1) из свойств биссектрисы AP=PX(AB+y)y тогда из APB по теореме косинусов , получается AB=y(PX2+2y2)y2PX2 подставляя (1), откуда AB=3y2cos2b1 тогда AB=AC+BC2 значит BXRY вписанный.

Если DABFX значит Ω окружность Аполлония для точек F,D .

  2
3 года назад #

Введем прямоугольную систему координат XOY, с началом координат в середине отрезка PQ, осью OX лежащей на прямой BC и пусть Q(x0;0),A(a;y0). Тогда по условию, P(x0;0),B(3x0;0),R(3x0;0),C(5x0;0), а серединный перпендикуляр к PQ будет представлять прямую x=0. Проводя через пары точек A,P и A,R прямые и выбирая на этих прямых точку с нулевой координатой, находим координаты точек X и Y, а именно X(0;x0y0a+x0),Y(0;3x0y0a3x0).

В силу того, что XY - серединный перпендикуляр также и к отрезку BR, то XBY=XRY и доказуемое утверждение задачи будет равносильно тому, что XRY - прямоугольный при гипотенузе XY, т.е. тому, что XR2+RY2=XY2. Последнее равенство в нашей системе XOY будет равносильно y2=3a26ax09x20, а это равенство получается напрямую путем преобразования условия AB=AC+BC2.

  6
3 года назад #

НУ НАКОНЕЦ-ТО ПОЯВИЛИСЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛИ КООРДИНАТНОГО МЕТОДА!!!!!

Благодарен за решение, sovetov.m

  1
3 года назад #

ХААХАХХ

  2
3 года назад #

Вы осквернили эту землю! Из-за этих адептов жюри олимпиад будут страдать!

  0
3 года назад #

Подскажите пожалуйста, как прийти к тому что X (0; x0y0/a+x0)? Интересует именно для координаты на оси y. Тоже самое хотел бы узнать и про координаты точки Y

  0
2 года 11 месяца назад #

где можно метод координат почалить