Областная олимпиада по математике, 2021 год, 11 класс

Дан треугольник $ABC,$ в котором $AB=AC+\frac{BC}{2}.$ На стороне $BC$ отметили точки $P,$ $Q$ и $R$ так, что $BP = PQ = QR = RC.$ Прямые $AP$ и $AR$ пересекают серединный перпендикуляр к $PQ$ соответственно в точках $X$ и $Y$. На отрезке $XY,$ как на диаметре, построена окружность $\Omega$. Докажите, что $\Omega$ проходит через точки $B$ и $R.$

Комментарий/решение

Возьмем на прямой $AC$ точку $D$ такую что $CD=CQ$ так как $AB=AC+\dfrac{BC}{2} = AC+CQ = AC+CD = AD$ и выполняется $CD^2=CQ^2=CR \cdot BC = 4CR^2$ так как $BP=PQ=QR=RC$ тогда $AD,AB$ являются касательными к окружности $W$ которая проходит через $R$ и касается $AD,AB$ которая задается однозначно, с другой стороны докажем что $BX$ биссектриса $ABC$, если $PB=y$ тогда и пусть известно что $FX$ ($F$-середина $QP$ ) серединный перпендикуляр и пусть $A \in PX \cap AB$ где $BX$ биссектриса $BC$ и $ABC=2b$, тогда $PX=\dfrac{y \sqrt{1+9tg^2(b)}}{2}$ (1) из свойств биссектрисы $AP=\dfrac{PX(AB+y)}{y}$ тогда из $APB$ по теореме косинусов , получается $AB=\dfrac{y(PX^2+2y^2)}{y^2-PX^2}$ подставляя $(1)$, откуда $AB= \dfrac{3y}{2\cos2b-1}$ тогда $AB = AC+\dfrac{BC}{2}$ значит $BXRY$ вписанный.

Если $D \in AB \cap FX$ значит $\Omega$ окружность Аполлония для точек $F,D$ .

Введем прямоугольную систему координат $XOY$, с началом координат в середине отрезка $PQ$, осью $OX$ лежащей на прямой $BC$ и пусть $Q(x_0; 0), A(a; y_0)$. Тогда по условию, $P(-x_0; 0), B(-3x_0; 0), R(3x_0; 0), C(5x_0; 0)$, а серединный перпендикуляр к $PQ$ будет представлять прямую $x=0$. Проводя через пары точек $A, P$ и $A, R$ прямые и выбирая на этих прямых точку с нулевой координатой, находим координаты точек $X$ и $Y$, а именно $X\left(0; \dfrac{x_0y_0}{a+x_0}\right), Y\left(0; -\dfrac{3x_0y_0}{a-3x_0}\right)$.

В силу того, что $XY$ - серединный перпендикуляр также и к отрезку $BR$, то $\triangle XBY=\triangle XRY$ и доказуемое утверждение задачи будет равносильно тому, что $\triangle XRY$ - прямоугольный при гипотенузе $XY$, т.е. тому, что $XR^2+RY^2=XY^2$. Последнее равенство в нашей системе $XOY$ будет равносильно $y^2=3a^2-6ax_0-9x_0^2$, а это равенство получается напрямую путем преобразования условия $AB=AC+\dfrac{BC}{2}$.

НУ НАКОНЕЦ-ТО ПОЯВИЛИСЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛИ КООРДИНАТНОГО МЕТОДА!!!!!

Благодарен за решение, sovetov.m

ХААХАХХ

Вы осквернили эту землю! Из-за этих адептов жюри олимпиад будут страдать!

Подскажите пожалуйста, как прийти к тому что X (0; x0y0/a+x0)? Интересует именно для координаты на оси y. Тоже самое хотел бы узнать и про координаты точки Y

где можно метод координат почалить