Processing math: 100%

Областная олимпиада по математике, 2021 год, 11 класс


При каких натуральных n число (n1)! делится на n3?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
4 года назад #

Лемма:

Если n=ab где a>b>3 to (n1)! делится на n3

Док:

n13a>3b поэтому (n1)!a2a3ab2b3bn3.

Если n=1 то задача решена

Пусть p наибольший простой делитель числа n. Тогда n=pm

1) Пусть p>3 :

a) При m=1,2,3 легко доказать что (n1)!⋮̸n3

b) Если p>m>3 ili m>p>3 тогда смотрим на лемму.

c) значит p=m>5 togda (n1)!n3=p6 tak kak p216p

остался случай n=52 тогда легко проверить что n3|(n1)!

2) Значит p3 поэтому n=2k3l,2k ili n=3k так как p наибольший простой делитель.

a) Если n=2k=42k2 то по лемме: k4

b) n=3k аналогично

c) Если n=2k3l то по лемме k2 иначе n=42k23l.

Поэтому n=23l или n=43l - в обоих случаях ограничиваем l по лемме.

Из всех мелких случаев находим ответы:

n4,8,16,9,25,p,2p,3p

  1
3 года 1 месяца назад #

при n=20?

слева будет 510154812 что делится на 43*53. но n не вида 2,43l

  2
4 года назад #

Задача №6. При каких натуральных n число (n – 1)! делится на n3 ?

Шешуі: 1) (n-1)!/n^3 = n!/n^4 = n!/n ∙1/n^3 ⇒ n=1

2) Егер n≥7 болса, онда n!≥n4 , n – жай сан емес

n! =2^(a_0 ) ×3^(a_1 ) × 5^(a_2 ) × 7^(a_3 ) ×…×(n-R-l)^(a_m )(n-R), l , R ∈ N, a_m∈ N, m≥0, (n-R-l) , (n - R) - жай сандар

n4 = 2^(b_0 ) ×3^(b_1 ) × 5^(b_2 ) × 7^(b_3 ) ×…× (n-t-s)^(b_m ) ×(n – t). s,t ∈ N, 〖 b〗_m∈ N, m≥0. ( n- t – s), (n – t) - жай сандар

n=10 болсын, 10!/〖10〗^4 = (2^8×3^4×5^2×7)/(2^4×5^4 )

n=12, 12!/( 〖12〗^4 ) = (2^10×3^5×5^2×7×11)/(2^8×3^4 ) = 22×3×52×7×11

n = 18 18!/〖18〗^4 = (2^16×3^8×…×17)/(2^4×3^8 ) = 212×…×17

n = 20 20!/〖20〗^4 = (2^18×3^8×…×19)/(2^8×5^4 ) = 210×3^8…×19

n= 24, n = 27 т.с.с. анықтауға болады

Жауабы: 1 ≤ a_(m )< a_(m-1) < …< a_2 < a_1 < a_0, a_0≥10

b_m≥ 4. Егер a_(m )≥ b_m болса, онда n!/n^4 яғни (n-1)!/n^3 бөлінеді

пред. Правка 2   2
3 года 1 месяца назад #

Ответ: (n=1;n=pdk) k>3; p is prime.

n=pdk где p max prime divisor. k=1,2,3 не работают по причине того что слева не найдётся p хотя бы 3 раза, значит не поделится, ибо справа нам говорят что оно должно делиться на p3k3.

  1
26 дней 9 часов назад #

Есть ответ n=12, но он не указан в твоем решении.

Кстати, я эту задачу решал на олимпиаде, когда был ещё школьником (эх, были беззаботные времена). Я использовал известное свойство факториалов:

vp(k!)=[kp]+[kp2]+[kp3]+...

Помню, там был ответ некрасивый с большим числом частных случаев.