Областная олимпиада по математике, 2021 год, 11 класс

При каких натуральных $n$ число $(n-1)!$ делится на $n^3?$

Комментарий/решение

Лемма:

Если $n=ab$ где $a>b>3$ to $(n-1)!$ делится на $n^3$

Док:

$n-1\ge 3a>3b$ поэтому $(n-1)!\, \vdots a\cdot 2a\cdot 3a\cdot b\cdot 2b\cdot 3b\,\vdots \,n^3$.

Если $n=1$ то задача решена

Пусть $p-$ наибольший простой делитель числа $n$. Тогда $n=pm$

1) Пусть $p>3$ :

a) При $m=1,2,3$ легко доказать что $(n-1)!\,\not\vdots\, n^3$

b) Если $p>m>3$ ili $m>p>3$ тогда смотрим на лемму.

c) значит $p=m>5$ togda $(n-1)!\,\vdots\,n^3=p^6$ tak kak $p^2-1\ge 6p$

остался случай $n=5^2$ тогда легко проверить что $n^3 \not|\,(n-1)!$

2) Значит $p\le 3$ поэтому $n=2^k3^l,2^k$ ili $n=3^k$ так как $p$ наибольший простой делитель.

a) Если $n=2^k=4\cdot 2^{k-2}$ то по лемме: $k\le 4$

b) $n=3^k$ аналогично

c) Если $n=2^k3^l$ то по лемме $k\le 2$ иначе $n=4\cdot 2^{k-2}3^l$.

Поэтому $n=2\cdot 3^l$ или $n=4\cdot 3^l$ - в обоих случаях ограничиваем $l$ по лемме.

Из всех мелких случаев находим ответы:

$n\neq 4,8,16,9,25,p,2p,3p$

при $n=20$?

слева будет $5*10*15*4*8*12$ что делится на $4^3$*$5^3$. но $n$ не вида $2,4 • 3^{l}$

Задача №6. При каких натуральных n число (n – 1)! делится на n3 ?

Шешуі: 1) (n-1)!/n^3 = n!/n^4 = n!/n ∙1/n^3 ⇒ n=1

2) Егер n≥7 болса, онда n!≥n4 , n – жай сан емес

n! =2^(a_0 ) ×3^(a_1 ) × 5^(a_2 ) × 7^(a_3 ) ×…×(n-R-l)^(a_m )(n-R), l , R ∈ N, a_m∈ N, m≥0, (n-R-l) , (n - R) - жай сандар

n4 = 2^(b_0 ) ×3^(b_1 ) × 5^(b_2 ) × 7^(b_3 ) ×…× (n-t-s)^(b_m ) ×(n – t). s,t ∈ N, 〖 b〗_m∈ N, m≥0. ( n- t – s), (n – t) - жай сандар

n=10 болсын, 10!/〖10〗^4 = (2^8×3^4×5^2×7)/(2^4×5^4 )

n=12, 12!/( 〖12〗^4 ) = (2^10×3^5×5^2×7×11)/(2^8×3^4 ) = 22×3×52×7×11

n = 18 18!/〖18〗^4 = (2^16×3^8×…×17)/(2^4×3^8 ) = 212×…×17

n = 20 20!/〖20〗^4 = (2^18×3^8×…×19)/(2^8×5^4 ) = 210×3^8…×19

n= 24, n = 27 т.с.с. анықтауға болады

Жауабы: 1 ≤ a_(m )< a_(m-1) < …< a_2 < a_1 < a_0, a_0≥10

b_m≥ 4. Егер a_(m )≥ b_m болса, онда n!/n^4 яғни (n-1)!/n^3 бөлінеді

Ответ: $(n=1; n=p^{d} k)$ $k>3$; $p$ is prime.

$n=p^{d}k$ где $p$ max prime divisor. $k=1,2,3$ не работают по причине того что слева не найдётся $p$ хотя бы 3 раза, значит не поделится, ибо справа нам говорят что оно должно делиться на $p^3 * k^3$.

Есть ответ $n=12$, но он не указан в твоем решении.

Кстати, я эту задачу решал на олимпиаде, когда был ещё школьником (эх, были беззаботные времена). Я использовал известное свойство факториалов:

$v_{p}(k!)=[\frac{k}{p}]+[\frac{k}{p^2}]+[\frac{k}{p^3}]+...$

Помню, там был ответ некрасивый с большим числом частных случаев.