Областная олимпиада по математике, 2021 год, 11 класс
Комментарий/решение:
Лемма:
Если n=ab где a>b>3 to (n−1)! делится на n3
Док:
n−1≥3a>3b поэтому (n−1)!⋮a⋅2a⋅3a⋅b⋅2b⋅3b⋮n3.
Если n=1 то задача решена
Пусть p− наибольший простой делитель числа n. Тогда n=pm
1) Пусть p>3 :
a) При m=1,2,3 легко доказать что (n−1)!⋮̸n3
b) Если p>m>3 ili m>p>3 тогда смотрим на лемму.
c) значит p=m>5 togda (n−1)!⋮n3=p6 tak kak p2−1≥6p
остался случай n=52 тогда легко проверить что n3⧸|(n−1)!
2) Значит p≤3 поэтому n=2k3l,2k ili n=3k так как p наибольший простой делитель.
a) Если n=2k=4⋅2k−2 то по лемме: k≤4
b) n=3k аналогично
c) Если n=2k3l то по лемме k≤2 иначе n=4⋅2k−23l.
Поэтому n=2⋅3l или n=4⋅3l - в обоих случаях ограничиваем l по лемме.
Из всех мелких случаев находим ответы:
n≠4,8,16,9,25,p,2p,3p
Задача №6. При каких натуральных n число (n – 1)! делится на n3 ?
Шешуі: 1) (n-1)!/n^3 = n!/n^4 = n!/n ∙1/n^3 ⇒ n=1
2) Егер n≥7 болса, онда n!≥n4 , n – жай сан емес
n! =2^(a_0 ) ×3^(a_1 ) × 5^(a_2 ) × 7^(a_3 ) ×…×(n-R-l)^(a_m )(n-R), l , R ∈ N, a_m∈ N, m≥0, (n-R-l) , (n - R) - жай сандар
n4 = 2^(b_0 ) ×3^(b_1 ) × 5^(b_2 ) × 7^(b_3 ) ×…× (n-t-s)^(b_m ) ×(n – t). s,t ∈ N, 〖 b〗_m∈ N, m≥0. ( n- t – s), (n – t) - жай сандар
n=10 болсын, 10!/〖10〗^4 = (2^8×3^4×5^2×7)/(2^4×5^4 )
n=12, 12!/( 〖12〗^4 ) = (2^10×3^5×5^2×7×11)/(2^8×3^4 ) = 22×3×52×7×11
n = 18 18!/〖18〗^4 = (2^16×3^8×…×17)/(2^4×3^8 ) = 212×…×17
n = 20 20!/〖20〗^4 = (2^18×3^8×…×19)/(2^8×5^4 ) = 210×3^8…×19
n= 24, n = 27 т.с.с. анықтауға болады
Жауабы: 1 ≤ a_(m )< a_(m-1) < …< a_2 < a_1 < a_0, a_0≥10
b_m≥ 4. Егер a_(m )≥ b_m болса, онда n!/n^4 яғни (n-1)!/n^3 бөлінеді
Есть ответ n=12, но он не указан в твоем решении.
Кстати, я эту задачу решал на олимпиаде, когда был ещё школьником (эх, были беззаботные времена). Я использовал известное свойство факториалов:
vp(k!)=[kp]+[kp2]+[kp3]+...
Помню, там был ответ некрасивый с большим числом частных случаев.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.