Математикадан облыстық олимпиада, 2021 жыл, 11 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Бастапқыда өлшемi

$2021 \times 2021$ болатын тақтаның барлық ұяшықтары ақ түстi болсын. Арман мен Бақытжан келесi ойын ойнайды. Бастапқыда Арман

$n$ ұяшықтарды қызыл түске бояйды. Содан кейiн Бақытжан 1011 қатарды және 1011 бағанды таңдап, таңдалған қатарлар мен бағандардағы барлық ұяшықтарды қара түске бояйды. Кем дегенде бiр қызыл ұяшық қалса Арман жеңедi, әйтпесе Бақытжан жеңедi. Бақытжан қалай әрекет ететiнiне қарамастан, Арман қандай ең кiшi

$n$ үшiн өзiне жеңiске жетуге кепiлдiк бере алады?
комментарий/решение(3)

Есеп №2.

$AB=AC+\frac{BC}{2}$ болатындай

$ABC$ үшбұрышы берiлсiн.

$BC$ қабырғасында

$BP = PQ = QR = RC$ болатындай

$P,$

$Q$ және

$R$ нүктелерi белгiленген.

$AP$ және

$AR$ түзулерi

$PQ$ -ға жүргiзiлген орта перпендикулярды сәйкесiнше

$X$ және

$Y$ нүктелерiнде қияды. Диаметрi

$XY$ кесiндiсiндiсi болатындай

$\Omega$ шеңберi салынған.

$\Omega$ шеңберi

$B$ және

$R$ нүктелерi арқылы өтетiнiн дәлелдеңiз.
комментарий/решение(7)

Есеп №3.

$\frac{{{8^n} - 1}}{{{n^2} + n + 1}}$ саны да натурал болатындай шексiз көп

$n$ натурал сандары табылатынын көрсетiңiз.
комментарий/решение(2)

Есеп №4.

$24a^2 + 2b^2 + 20c^2 + 21d^2 = 24a + 2b + 20c + 21d$ болатындай

$a,$

$b,$

$c,$

$d$ оң бүтiн сандар болсын.

$A = \sqrt {\frac{a}{{b(24 + 2b + 20c + 21d)}}} + \sqrt {\frac{b}{{c(24a + 2 + 20c + 21d)}}} + \sqrt {\frac{c}{{d(24 + 2b + 20 + 21d)}}} + \sqrt {\frac{d}{{a(24 + 2b + 20c + 21)}}}$ өрнегiнiң ең кiшi мәнiн табыңыз.
комментарий/решение(3)

Есеп №5.

$\angle B < \angle C$ болатындай

$ABC$ сүйiр бұрышты үшбұрышы берiлсiн.

$ABC$ үшбұрышына iштей сызылған шеңбердiң центрi —

$I$ арқылы, сырттай сызылған шеңбердiң центрi —

$O$ арқылы, ал ортоцентрi —

$H$ арқылы белгiленген.

$ABC$ үшбұрышына iштей сызылған шеңбер

$BC$ қабырғасын

$D$ нүктесiнде жанап өтсiн, және

$AO$

$HD$ -ға параллель болсын.

$E$ нүктесi —

$OD$ және

$AH$ түзулерiнiң қиылысу нүктесi,

$F$ нүктесi —

$CI$ кесiндiсiнiң орта нүктесi болсын.

$I$ ,

$O,$

$E$ және

$F$ нүктелерi бiр шеңбердiң бойында жататынын дәлелдеңiз.
комментарий/решение(7)

Есеп №6. Қандай

$n$ натурал сандары үшiн

$(n-1)!$ саны

$n^3$ -ке бөлiнедi?
комментарий/решение(5)