Processing math: 100%

Областная олимпиада по математике, 2021 год, 11 класс


Покажите, что существует бесконечно много натуральных чисел n таких, что 8n1n2+n+1 также является натуральным числом.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  5
4 года назад #

Рассмотрим число n=22k. Так как если m делится на l, то 2m1 делится на 2l1, тогда:

8n1=23n1 делится на 232k1 делится на 222k+22k+1=n2+n+1, что и требовалось доказать.

пред. Правка 2   2
2 года назад #

Перепишем данную дробь в виде (2n1)((2n)2+2n+1)n2+n+1.

Заменим (2n)2+2n+1 и n2+n+1, как значения f(x)=x2+x+1.

Тогда исходное выражение примет вид (2n1)f(2n)f(n)

Заметим, что f(n2)=n4+n2+1=(n2+n+1)(n2n+1)f(n)|f(n2)

Отсюда по индукции легко доказать, что f(n)|f(n2k)n,kN(1)

Переформулируем задачу: докажем, что существует бесконечно много натуральных n таких, что f(n)|f(2n)

Предположим, что n2k=2n, отсюда можно понять, что n - степень двойки в какой-то степени, поэтому пусть n=22x

n2k=(22x)2k22k+x=2n=222x2k+x=22xk+x=2xk=2xx(xN)

Подставим новые значения k и n в (1):

f(n)|f(n2k)=f((22x)2x1)=f(22x22x2x)=f(222x)=f(2n), а поскольку таких x из которых и исходят значения n и k бесконечно много, то и самих таких nk) бесконечно много, что и требовалось доказать.