Областная олимпиада по математике, 2021 год, 11 класс
Комментарий/решение:
Перепишем данную дробь в виде (2n−1)((2n)2+2n+1)n2+n+1.
Заменим (2n)2+2n+1 и n2+n+1, как значения f(x)=x2+x+1.
Тогда исходное выражение примет вид (2n−1)f(2n)f(n)
Заметим, что f(n2)=n4+n2+1=(n2+n+1)(n2−n+1)⇔f(n)|f(n2)
Отсюда по индукции легко доказать, что f(n)|f(n2k)∀n,k∈N(1)
Переформулируем задачу: докажем, что существует бесконечно много натуральных n таких, что f(n)|f(2n)
Предположим, что n2k=2n, отсюда можно понять, что n - степень двойки в какой-то степени, поэтому пусть n=22x
n2k=(22x)2k⇔22k+x=2n=222x⇔2k+x=22x⇔k+x=2x⇔k=2x−x(∀x∈N)
Подставим новые значения k и n в (1):
f(n)|f(n2k)=f((22x)2x−1)=f(22x∗22x2x)=f(222x)=f(2n), а поскольку таких x из которых и исходят значения n и k бесконечно много, то и самих таких n (и k) бесконечно много, что и требовалось доказать.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.