Областная олимпиада по математике, 2021 год, 11 класс

Пусть $a,$ $b,$ $c,$ $d$ — положительные целые числа такие, что $24a^2 + 2b^2 + 20c^2 + 21d^2 = 24a + 2b + 20c + 21d.$ Найдите наименьшее значение выражения $$A = \sqrt {\frac{a}{{b(24 + 2b + 20c + 21d)}}} + \sqrt {\frac{b}{{c(24a + 2 + 20c + 21d)}}} + \sqrt {\frac{c}{{d(24 + 2b + 20 + 21d)}}} + \sqrt {\frac{d}{{a(24 + 2b + 20c + 21)}}} .$$

Комментарий/решение

$24a^2+2b^2+20c^2+21d^2-24a-2b-20c-21d=0 \Leftrightarrow 24a^2-24a+2b^2-2b+20c^2-20c+21d^2-21d=0.$

$24(a^2-a)+2(b^2-b)+20(c^2-c)+21(d^2-d)=0.$

$a^2-a=0, b^2-b=0, c^2-c=0, d^2-d=0.$

$a=1, b=1, b=1, c=1.$

Теңдік $a=1, b=1, b=1, c=1$ болғанда орындалады. Орнына апарып қойсақ :

$$A=\sqrt{\frac{1}{1(24+2\cdot 1+20\cdot 1+21\cdot 1)}}+\sqrt{\frac{1}{1(24\cdot 1+2+20\cdot 1+21\cdot 1)}}+\sqrt{\frac{1}{1(24+2\cdot 1+20+21\cdot 1)}}++\sqrt{\frac{1}{1(24+2\cdot 1+20\cdot 1+21)}}=\sqrt{\frac{1}{67}}+\sqrt{\frac{1}{67}}+\sqrt{\frac{1}{67}}+\sqrt{\frac{1}{67}}=\frac{4}{\sqrt{67}}.$$

Есептің шартында "оң бүтін сандар" орнында "оң нақты сандар" болуы керек шығар.

Полагаю в условии в скобках третьего и четвертого корней выражения $A$ пропущена переменная $a$.

$$A = \sqrt {\frac{a}{{b(24 + 2b + 20c + 21d)}}} + \sqrt {\frac{b}{{c(24a + 2 + 20c + 21d)}}} + \sqrt {\frac{c}{{d(24a + 2b + 20 + 21d)}}} + \sqrt {\frac{d}{{a(24a + 2b + 20c + 21)}}}.$$

Решение при $a,b,c,d$ действительных положительных числах.

Пусть $S = 24a^2 + 2b^2 + 20c^2 + 21d^2, T = 24a + 2b + 20c + 21d$

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Утверждение 1-- $T = 24a+2b+20c+21d \leq 67$

Доказательство. По Неравенству Коши-Буняковского имеем, что

$$(24a^2 + 2b^2 + 20c^2 + 21d^2)(24+2+20+21) \geq (24a + 2b + 20c + 21d)^2.$$

$$67S \geq T^2, S=T$$

$$67 \geq T. \quad \square$$

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Теперь перепишем выражение $A$, как

$$A = \sqrt {\frac{a}{{b(T-24a+24)}}} + \sqrt {\frac{b}{{c(T-2b+2)}}} + \sqrt {\frac{c}{{d(T-20c+20)}}} + \sqrt {\frac{d}{{a(T-21d+21)}}}.$$

По Неравенству Коши для четырех переменных (AM-GM) имеем:

$$\sqrt {\frac{a}{{b(T-24a+24)}}} + \sqrt {\frac{b}{{c(T-2b+2)}}} + \sqrt {\frac{c}{{d(T-20c+20)}}} + \sqrt {\frac{d}{{a(T-21d+21)}}} \geq 4(\frac{1}{\sqrt{(T-24a+24)(T-2b+2)(T-20c+20)(T-21d + 21)}})^{\frac{1}{4}} = 4\sqrt{(\frac{1}{(T-24a+24)(T-2b+2)(T-20c+20)(T-21d + 21))^{\frac{1}{4}}}}.$$

Применив Неравенство Коши для четырех переменных еще раз, получаем, что

$$((T-24a+24)(T-2b+2)(T-20c+20)(T-21d + 21))^{\frac{1}{4}} \leq \frac{(T-24a+24) + (T-2b+2)+(T-20c+20)+(T-21d + 21)}{4} = \frac{3T+67}{4} \leq 67.$$

Таким образом,

$$A \geq 4\sqrt{(\frac{1}{(T-24a+24)(T-2b+2)(T-20c+20)(T-21d + 21))^{\frac{1}{4}}}} \geq 4\sqrt {\frac{1}{\frac{3T+67}{4}}} \geq 4 \sqrt{\frac{1}{67}}.$$

Наименьшее значение $A$ достигается при $a=b=c=d=1.$

Ответ: $\frac{4}{\sqrt{67}}$