Областная олимпиада по математике, 2021 год, 11 класс
Комментарий/решение:
$24a^2+2b^2+20c^2+21d^2-24a-2b-20c-21d=0 \Leftrightarrow 24a^2-24a+2b^2-2b+20c^2-20c+21d^2-21d=0.$
$24(a^2-a)+2(b^2-b)+20(c^2-c)+21(d^2-d)=0.$
$a^2-a=0, b^2-b=0, c^2-c=0, d^2-d=0.$
$a=1, b=1, b=1, c=1.$
Теңдік $a=1, b=1, b=1, c=1$ болғанда орындалады. Орнына апарып қойсақ :
$$A=\sqrt{\frac{1}{1(24+2\cdot 1+20\cdot 1+21\cdot 1)}}+\sqrt{\frac{1}{1(24\cdot 1+2+20\cdot 1+21\cdot 1)}}+\sqrt{\frac{1}{1(24+2\cdot 1+20+21\cdot 1)}}++\sqrt{\frac{1}{1(24+2\cdot 1+20\cdot 1+21)}}=\sqrt{\frac{1}{67}}+\sqrt{\frac{1}{67}}+\sqrt{\frac{1}{67}}+\sqrt{\frac{1}{67}}=\frac{4}{\sqrt{67}}.$$
Полагаю в условии в скобках третьего и четвертого корней выражения $A$ пропущена переменная $a$.
$$A = \sqrt {\frac{a}{{b(24 + 2b + 20c + 21d)}}} + \sqrt {\frac{b}{{c(24a + 2 + 20c + 21d)}}} + \sqrt {\frac{c}{{d(24a + 2b + 20 + 21d)}}} + \sqrt {\frac{d}{{a(24a + 2b + 20c + 21)}}}.$$
Решение при $a,b,c,d$ действительных положительных числах.
Пусть $S = 24a^2 + 2b^2 + 20c^2 + 21d^2, T = 24a + 2b + 20c + 21d$
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Утверждение 1-- $T = 24a+2b+20c+21d \leq 67$
Доказательство. По Неравенству Коши-Буняковского имеем, что
$$(24a^2 + 2b^2 + 20c^2 + 21d^2)(24+2+20+21) \geq (24a + 2b + 20c + 21d)^2.$$
$$67S \geq T^2, S=T$$
$$67 \geq T. \quad \square$$
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Теперь перепишем выражение $A$, как
$$A = \sqrt {\frac{a}{{b(T-24a+24)}}} + \sqrt {\frac{b}{{c(T-2b+2)}}} + \sqrt {\frac{c}{{d(T-20c+20)}}} + \sqrt {\frac{d}{{a(T-21d+21)}}}.$$
По Неравенству Коши для четырех переменных (AM-GM) имеем:
$$ \sqrt {\frac{a}{{b(T-24a+24)}}} + \sqrt {\frac{b}{{c(T-2b+2)}}} + \sqrt {\frac{c}{{d(T-20c+20)}}} + \sqrt {\frac{d}{{a(T-21d+21)}}} \geq 4(\frac{1}{\sqrt{(T-24a+24)(T-2b+2)(T-20c+20)(T-21d + 21)}})^{\frac{1}{4}} = 4\sqrt{(\frac{1}{(T-24a+24)(T-2b+2)(T-20c+20)(T-21d + 21))^{\frac{1}{4}}}}.$$
Применив Неравенство Коши для четырех переменных еще раз, получаем, что
$$((T-24a+24)(T-2b+2)(T-20c+20)(T-21d + 21))^{\frac{1}{4}} \leq \frac{(T-24a+24) + (T-2b+2)+(T-20c+20)+(T-21d + 21)}{4} = \frac{3T+67}{4} \leq 67.$$
Таким образом,
$$A \geq 4\sqrt{(\frac{1}{(T-24a+24)(T-2b+2)(T-20c+20)(T-21d + 21))^{\frac{1}{4}}}} \geq 4\sqrt {\frac{1}{\frac{3T+67}{4}}} \geq 4 \sqrt{\frac{1}{67}}.$$
Наименьшее значение $A$ достигается при $a=b=c=d=1.$
Ответ: $\frac{4}{\sqrt{67}}$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.