Математикадан аудандық олимпиада, 2018-2019 оқу жылы, 11 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$(0, \pi /2)$ интервалынан алынған

$a,b,c$ сандары:

$\cos a = a,$

$\sin \cos b = b,$

$\cos \sin c = c$ теңдіктерін қанағаттандырады. Осы сандарды өсу ретімен орналастырыңдар.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Диагоналдары перпендикуляр болатын дөңес

$ABCD$ төртбұрышы центрі

$O$ нүктесі болатын шеңберге іштей сызылған.

$AOC$ қисық сызығы төртбұрышты ауданы тең екі бөлікке бөлетінін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Теннис турниріне

$n$ кәсіпқой және

$2n$ әуесқой ойыншы қатысты. Теннисшілердің әрбір жұбы өзара дәл бір ойын ойнады. Кәсіпқойлардың жеңіс санының әуесқойлардың жеңіс санына қатынасы 7/5 болса,

$n$ санын табыңдар (теннисте тең ойын болмайды).
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Теңдеулер жүйесін шешіңіздер: әрбір

$i = 1,2, \ldots ,9$ үшін

$x_i+x_i x_{i+1} = 1$ және

$x_{10} + x_{10}x_1 = 1.$
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Біз

$|a_1 - a_2|,$

$|a_2 - a_3|,$

$\ldots,$

$|a_{10} - a_{11}|,$

$|a_{11} - a_{1}|$ сандары түгелдей әртүрлі болатындай етіп,

$\{1,2, \ldots ,11,12\}$ жиынынан әртүрлі

$a_1,a_2,\ldots ,a_{10},a_{11}$ сандарын таңдай аламыз ба?
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Ауданы

$S$ -ке тең параллелограмның әрбір қабырғасынан бір нүктеден таңдап алынған. Төбелері осы нүктелер болатын төртбұрыштың ауданы

$S/2$ болса, оның кемінде бір диагоналы параллелограмның бір қабырғасына параллель болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)