Районная олимпиада по математике, 2018-2019 учебный год, 11 класс

На каждой стороне параллелограмма с площадью $S$ взято по точке. Площадь четырехугольника с вершинами в этих точках равна $S/2.$ Докажите, что хотя бы одна из диагоналей четырехугольника параллельна одной из сторон параллелограмма.

Комментарий/решение

Пусть $N,L,K,M$ лежат на сторонах $AB,BC,CD,AD$ по условию $2(S_{NBL}+S_{LCK}+S_{KDM}+S_{ABM})=S$ или

$2(BN \cdot BL + AN \cdot AM + DM \cdot DK + CK \cdot CL) = (BL+CL)(BN+AN) + (DK+CK)(DM+AM)$

учитывая что $BL+CL=AM+DM, \ BN+AN=CK+DK$ выражая $DK=BN+AN-CK$ и $DM=BL+CL-AM$ подставляя в исходное уравнение получаем $BN=CK$ или $BL=AM$ то есть хотя бы одно из диагоналей будет параллельна одной из соответственных сторон.