Математикадан аудандық олимпиада, 2018-2019 оқу жылы, 11 сынып
Ауданы S-ке тең параллелограмның әрбір қабырғасынан бір нүктеден таңдап алынған. Төбелері осы нүктелер болатын төртбұрыштың ауданы S/2 болса, оның кемінде бір диагоналы параллелограмның бір қабырғасына параллель болатынын дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть N,L,K,M лежат на сторонах AB,BC,CD,AD по условию 2(SNBL+SLCK+SKDM+SABM)=S или
2(BN⋅BL+AN⋅AM+DM⋅DK+CK⋅CL)=(BL+CL)(BN+AN)+(DK+CK)(DM+AM)
учитывая что BL+CL=AM+DM, BN+AN=CK+DK выражая DK=BN+AN−CK и DM=BL+CL−AM подставляя в исходное уравнение получаем BN=CK или BL=AM то есть хотя бы одно из диагоналей будет параллельна одной из соответственных сторон.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.