Районная олимпиада по математике, 2018-2019 учебный год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Числа

$a,b,c$ из интервала

$(0, \pi /2)$ удовлетворяют равенствам:

$\cos a = a,$

$\sin \cos b = b,$

$\cos \sin c = c.$ Расположите эти числа в порядке возрастания.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Диагонали выпуклого четырехугольника

$ABCD,$ вписанного в окружность с центром в

$O,$ взаимно перпендикулярны. Докажите, что ломаная

$AOC$ делит четырехугольник на две части равной площади.
комментарий/решение(1)

Задача №3. В теннисном турнире участвовали

$n$ профессионалов и

$2n$ любителей. Каждая пара теннисистов сыграла ровно одну игру между собой. Известно, что отношение числа побед, одержанных профессионалами, к числу побед, одержанных любителями, равно 7/5 (в теннисе ничьих не бывает). Найдите

$n.$
комментарий/решение(1)

Задача №4. Решите систему, состоящую из уравнений:

$x_i+x_i x_{i+1} = 1,$ для

$i = 1,2, \ldots ,9,$ и

$x_{10} + x_{10}x_1 = 1.$
комментарий/решение(1)

Задача №5. Можно ли из множества

$\{1,2, \ldots ,11,12\}$ выбрать 11 различных чисел

$a_1,a_2,\ldots ,a_{10},a_{11}$ так, чтобы все десять чисел

$|a_1 - a_2|,$

$|a_2 - a_3|,$

$\ldots,$

$|a_{10} - a_{11}|,$

$|a_{11} - a_{1}|$ были различными?
комментарий/решение(1)

Задача №6. На каждой стороне параллелограмма с площадью

$S$ взято по точке. Площадь четырехугольника с вершинами в этих точках равна

$S/2.$ Докажите, что хотя бы одна из диагоналей четырехугольника параллельна одной из сторон параллелограмма.
комментарий/решение(1)