Районная олимпиада по математике, 2018-2019 учебный год, 11 класс

Диагонали выпуклого четырехугольника $ABCD,$ вписанного в окружность с центром в $O,$ взаимно перпендикулярны. Докажите, что ломаная $AOC$ делит четырехугольник на две части равной площади.

Комментарий/решение

Требуется доказать что $S_{ABC}-S_{AOC} = S_{ACD} + S_{AOC}$ откуда $S_{ABC}-S_{ACD}=2AS_{AOC}$ если $E$ точка пересечения диагоналей и $N,F$ середины $BD,AC$ соотвественно, тогда уравнения для площадей выше можно расписать как $BE-DE = 2OF$ или $BE+OF=OF+DE$ что тоже самое что $BN=DN$ что верно так как $N$ середина.