Математикадан аудандық олимпиада, 2018-2019 оқу жылы, 11 сынып

Диагоналдары перпендикуляр болатын дөңес $ABCD$ төртбұрышы центрі $O$ нүктесі болатын шеңберге іштей сызылған. $AOC$ қисық сызығы төртбұрышты ауданы тең екі бөлікке бөлетінін дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Требуется доказать что $S_{ABC}-S_{AOC} = S_{ACD} + S_{AOC}$ откуда $S_{ABC}-S_{ACD}=2AS_{AOC}$ если $E$ точка пересечения диагоналей и $N,F$ середины $BD,AC$ соотвественно, тогда уравнения для площадей выше можно расписать как $BE-DE = 2OF$ или $BE+OF=OF+DE$ что тоже самое что $BN=DN$ что верно так как $N$ середина.