Районная олимпиада по математике, 2018-2019 учебный год, 11 класс

Решите систему, состоящую из уравнений: $x_i+x_i x_{i+1} = 1,$ для $i = 1,2, \ldots ,9,$ и $x_{10} + x_{10}x_1 = 1.$

Комментарий/решение

Выражая с каждого $x_{i}=\dfrac{1}{1+x_{i+1}}$ и последнего $x_{10}=\dfrac{1}{1+x_{1}}$ подставляя для $i=9$ до $i=9$ получаем цепную дробь $x_{1}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+...}}$ если меньшая часть подобное общему $x_{1}$ если обозначить меньшее как $x_{1}$ то получаем $x_{1}^2+x_{1}-1=0$ откуда $x_{1}=\dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ значит все $x_{i}=x_{1}$.