Районная олимпиада по математике, 2018-2019 учебный год, 11 класс

В теннисном турнире участвовали $n$ профессионалов и $2n$ любителей. Каждая пара теннисистов сыграла ровно одну игру между собой. Известно, что отношение числа побед, одержанных профессионалами, к числу побед, одержанных любителями, равно 7/5 (в теннисе ничьих не бывает). Найдите $n.$

Комментарий/решение

Пусть $x$ количество победителей среди профессионалов которые победили любителей, тогда суммарное количество всех победителей профессионалов $C_{n}^2+x$ значит любителей $C_{3n}^2-C_{n}^2-x$ по условию $\dfrac{C_{n}^2+x}{C_{3n}^2-C_{n}^2-x} = \dfrac{7}{5}$ учитывая что $x \leq 2n^2$ откуда $x=\dfrac{17n^2-3n}{8} \leq 2n^2$

значит $n \leq 3$ $n=1,2$ проверяя не подходят, ответ $n=3$ то есть получаем все встречи профессионалов с любителями были в пользу первых или все $18+3=21$ победителей профессионалов и $15$ любителей.