Математикадан облыстық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 9 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Теріс емес $x_1, x_2, x_3$ сандарының қосындысы 1/2–ден аспайды. Теңсіздікті дәлелдеңіздер: $(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)\geq 1/2.$
комментарий/решение(4)

Есеп №2. Жалпы саны 60 болаты эльфтар мен троллдар дөңгелек стол басында отыр. Троллдар әрқашан өтірік айтады, ал эльфтар "қателескен" жағдайдан басқа жағдайда тек шындықты айтады. Әрбір отырған қонақ эльф пен тролл арасында отырғанын айтты және дәл екі эльф қателесті. Стол басында қанша тролл отыр?
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі $O$ нүктесі болсын. $AO$ түзуі $BC$ қабырғасын $K$ нүктесінде қияды. $AB$ и $AC$ қабырғаларынан $KL = KB$ және $KM = KC$ шарты орындалатындай $B$ және $C$ нүктелерінен өзге сәйкесінше $L$ және $M$ нүктелері алынған. $LM$ және $BC$ параллель екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)

Есеп №4. $\{x_n\}$ тізбегі келесі түрде берілген: кез келген $n\geq 2$ саны үшін $x_0=a$, $x_1=2$, $x_n=2x_{n-1}x_{n-2}-x_{n-1}-x_{n-2}+1$. Кез келген $n\geq 1$ үшін $2x_{3n}-1$ толық квадрат болатындай барлық $a$ бүтін сандарын табыңыздар.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. $A$, $B$, $C$ жаяу жүргіншілер әрбірі сағатына 5 километр жылдамдықпен жүреді. Оларда тек екі адам ғана сыятын автомобиль бар және оның жылдамдығы сағатына 50 километр. Үшеуі бірге 62 километр қашықтықты 3 сағаттан аз уақытта өте ала ма?
комментарий/решение

Есеп №6. $pq+r$, $pq+r^2$, $qr+p$, $qr+p^2$, $rp+q$, $rp+q^2$ сандары жай сандар болатындай барлық $p\leq q\leq r$ жай сандарын табыңыздар.
комментарий/решение(2)

Есеп №7. $ax^2+ bx + c =0$ теңдеуінің $a$, $b$, $c$ коэффициенттерінің бірін бір жүрісте 1-ге өзгерту арқылы бірнеше жүрісте $x^2 + 7x + 2007 =0$ теңдеуінен $7x^2 + 2007x + 1=0$ теңдеуін алуға болады. Алынған теңдеулердің бірінде бүтін шешімі болмауы мүмкін бе?
комментарий/решение

Есеп №8. Дөңес $ABCDE$ бүсбұрышында $ABC$, $BCD$, $CDE$, $DEA$, $EAB$ үшбұрыштарының аудандары тең. $AC$ және $AD$ түзулері $BE$ түзуін сәйкесінше $M$ және $N$ нүктелерінде қияды. $BM = EN$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)