Областная олимпиада по математике, 2007 год, 9 класс

Изменяя за один шаг на единицу один из коэффициентов $a$, $b$, $c$ уравнения $ax^2+ bx + c =0$ можно за несколько шагов из $x^2 + 7x + 2007 =0$ получить $7x^2 + 2007x + 1=0$. Возможно ли, чтобы при этом ни одно из получаемых уравнений не имело целых корней?

Комментарий/решение

Ответ: Нет.

Для ясности обозначим f(x) = x² + 7x + 2007 и g(x) = 7x² + 2007x + 1. Заметим, что f(-1) = 2001 и g(-1) = - 1999. Рассмотрим функцию h(x) в некоторый момент. Не сложно убедится, что за шаг h(-1) меняется ровно на единицу. Так как -1999 < 0 < 2001, то в некоторый момент h(-1) = 0, что значит, что -1 корень этого уравнения.