Областная олимпиада по математике, 2007 год, 9 класс

Изменяя за один шаг на единицу один из коэффициентов $a$, $b$, $c$ уравнения $ax^2+ bx + c =0$ можно за несколько шагов из $x^2 + 7x + 2007 =0$ получить $7x^2 + 2007x + 1=0$. Возможно ли, чтобы при этом ни одно из получаемых уравнений не имело целых корней?

Комментарий/решение

Ответ: Нет.

Для ясности обозначим $f(x) = x^2 + 7x + 2007$ и $g(x) = 7x^2 + 2007x + 1$. Заметим, что $f(-1) = 2001$ и $g(-1) = -1999$. Рассмотрим функцию $h(x)$ в некоторый момент. Не сложно убедится, что за шаг $h(-1)$ меняется ровно на единицу. Так как $-1999 < 0 < 2001$, то в некоторый момент $h(-1) = 0$, что значит, что $-1$ корень этого уравнения.