Математикадан облыстық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 9 сынып

$ax^2+ bx + c =0$ теңдеуінің $a$, $b$, $c$ коэффициенттерінің бірін бір жүрісте 1-ге өзгерту арқылы бірнеше жүрісте $x^2 + 7x + 2007 =0$ теңдеуінен $7x^2 + 2007x + 1=0$ теңдеуін алуға болады. Алынған теңдеулердің бірінде бүтін шешімі болмауы мүмкін бе?

Комментарий/решение

Ответ: Нет.

Для ясности обозначим $f(x) = x^2 + 7x + 2007$ и $g(x) = 7x^2 + 2007x + 1$. Заметим, что $f(-1) = 2001$ и $g(-1) = -1999$. Рассмотрим функцию $h(x)$ в некоторый момент. Не сложно убедится, что за шаг $h(-1)$ меняется ровно на единицу. Так как $-1999 < 0 < 2001$, то в некоторый момент $h(-1) = 0$, что значит, что $-1$ корень этого уравнения.