Областная олимпиада по математике, 2007 год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Сумма трех неотрицательных чисел $x_1,~x_2,~x_3$ не превосходит 1/2. Докажите, что справедливо неравенство $(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)\geq 1/2$.
комментарий/решение(4)

Задача №2. Эльфы и тролли сидят за круглым столом, всего 60 существ. Тролли всегда лгут, эльфы говорят правду, кроме случаев, когда они «ошибаются». Каждый из сидящих утверждает, что сидит между эльфом и троллем, причем ровно два эльфа «ошиблись». Сколько троллей сидит за столом?
комментарий/решение(1)

Задача №3. Пусть $O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. $AO$ пересекает $BC$ в точке $K$. На сторонах $AB$ и $AC$ взяты точки $L$ и $M$, соответственно, отличные от $B$ и $C$, так, что $KL = KB$ и $KM = KC$. Докажите, что $LM$ и $BC$ параллельны.
комментарий/решение(3)

Задача №4. Последовательность $\{x_n\}$ задана следующим образом: $x_0=a$, $x_1=2$, $x_n=2x_{n-1}x_{n-2}-x_{n-1}-x_{n-2}+1$ для любого $n\geq 2$. Найдите все целые $a$, такие, что $2x_{3n}-1$ есть полный квадрат для любого $n\geq 1$.
комментарий/решение(1)

Задача №5. $A$, $B$, $C$ ходят со скоростью 5 километров в час. У них есть автомобиль, который вмещает только двоих, скорость его 50 километров в час. Могут ли они втроем преодолеть расстояние в 62 км, потратив менее 3 часов?
комментарий/решение

Задача №6. Найдите все тройки простых чисел $p\leq q\leq r$ , такие, что числа $pq+r$, $pq+r^2$, $qr+p$, $qr+p^2$, $rp+q$, $rp+q^2$ являются также простыми.
комментарий/решение(2)

Задача №7. Изменяя за один шаг на единицу один из коэффициентов $a$, $b$, $c$ уравнения $ax^2+ bx + c =0$ можно за несколько шагов из $x^2 + 7x + 2007 =0$ получить $7x^2 + 2007x + 1=0$. Возможно ли, чтобы при этом ни одно из получаемых уравнений не имело целых корней?
комментарий/решение

Задача №8. В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ треугольники $ABC$, $BCD$, $CDE$, $DEA$ и $EAB$ имеют одинаковую площадь. Прямые $AC$ и $AD$ пересекают $BE$ в точках $M$ и $N$. Докажите, что $BM = EN$.
комментарий/решение(1)