Областная олимпиада по математике, 2007 год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Сумма трех неотрицательных чисел

$x_1,~x_2,~x_3$ не превосходит 1/2. Докажите, что справедливо неравенство

$(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)\geq 1/2$ .
комментарий/решение(4)

Задача №2. Эльфы и тролли сидят за круглым столом, всего 60 существ. Тролли всегда лгут, эльфы говорят правду, кроме случаев, когда они «ошибаются». Каждый из сидящих утверждает, что сидит между эльфом и троллем, причем ровно два эльфа «ошиблись». Сколько троллей сидит за столом?
комментарий/решение(3)

Задача №3. Пусть

$O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника

$ABC$ .

$AO$ пересекает

$BC$ в точке

$K$ . На сторонах

$AB$ и

$AC$ взяты точки

$L$ и

$M$ , соответственно, отличные от

$B$ и

$C$ , так, что

$KL = KB$ и

$KM = KC$ . Докажите, что

$LM$ и

$BC$ параллельны.
комментарий/решение(3)

Задача №4. Последовательность

$\{x_n\}$ задана следующим образом:

$x_0=a$ ,

$x_1=2$ ,

$x_n=2x_{n-1}x_{n-2}-x_{n-1}-x_{n-2}+1$ для любого

$n\geq 2$ . Найдите все целые

$a$ , такие, что

$2x_{3n}-1$ есть полный квадрат для любого

$n\geq 1$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5.

$A$ ,

$B$ ,

$C$ ходят со скоростью 5 километров в час. У них есть автомобиль, который вмещает только двоих, скорость его 50 километров в час. Могут ли они втроем преодолеть расстояние в 62 км, потратив менее 3 часов?
комментарий/решение

Задача №6. Найдите все тройки простых чисел

$p\leq q\leq r$ , такие, что числа

$pq+r$ ,

$pq+r^2$ ,

$qr+p$ ,

$qr+p^2$ ,

$rp+q$ ,

$rp+q^2$ являются также простыми.
комментарий/решение(2)

Задача №7. Изменяя за один шаг на единицу один из коэффициентов

$a$ ,

$b$ ,

$c$ уравнения

$ax^2+ bx + c =0$ можно за несколько шагов из

$x^2 + 7x + 2007 =0$ получить

$7x^2 + 2007x + 1=0$ . Возможно ли, чтобы при этом ни одно из получаемых уравнений не имело целых корней?
комментарий/решение

Задача №8. В выпуклом пятиугольнике

$ABCDE$ треугольники

$ABC$ ,

$BCD$ ,

$CDE$ ,

$DEA$ и

$EAB$ имеют одинаковую площадь. Прямые

$AC$ и

$AD$ пересекают

$BE$ в точках

$M$ и

$N$ . Докажите, что

$BM = EN$ .
комментарий/решение(1)