Processing math: 100%

Областная олимпиада по математике, 2007 год, 9 класс


Последовательность {xn} задана следующим образом: x0=a, x1=2, xn=2xn−1xn−2−xn−1−xn−2+1 для любого n≥2. Найдите все целые a, такие, что 2x3n−1 есть полный квадрат для любого n≥1.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
6 года 4 месяца назад #

преобразуем

xn=(xn−1−1)(xn−2−1)+xn−1xn−2

Тогда

x2=3a−1=3(2a−1)+12

x3=9a−4=32(2a−1)+12

x4=33(2a−1)2+12

То есть в степенях последовательность «Фибоначчи» Fn тогда общий вид

xn=3Fn(2a−1)Fn−1+12 2x3m−1=3F3m−1(2a−1)F3m−2 отметим что последовательность Фибоначчи начинается (1,1,2,...)=(неч,неч,чет,..) отсюда на каждом 3m местах всегда будет четное число, значит предыдущее нечётное, отсюда 2a−1=1 как единственное возможное, так как иначе число не будет полным квадратом откуда a=1.

Matov