Областная олимпиада по математике, 2007 год, 9 класс

Последовательность $\{x_n\}$ задана следующим образом: $x_0=a$, $x_1=2$, $x_n=2x_{n-1}x_{n-2}-x_{n-1}-x_{n-2}+1$ для любого $n\geq 2$. Найдите все целые $a$, такие, что $2x_{3n}-1$ есть полный квадрат для любого $n\geq 1$.

Комментарий/решение

преобразуем

$x_{n}=(x_{n-1}-1)(x_{n-2}-1)+x_{n-1}x_{n-2}$

Тогда

$x_{2}=3a-1=\dfrac{3(2a-1)+1}{2}$

$x_{3}=9a-4=\dfrac{3^2(2a-1)+1}{2}$

$x_{4}=\dfrac{3^3(2a-1)^2+1}{2}$

То есть в степенях последовательность «Фибоначчи» $F_{n}$ тогда общий вид

$x_{n}=\dfrac{3^{F_{n}}(2a-1)^{F_{n-1}}+1}{2}$ $2x_{3m}-1=3^{F_{3m-1}}(2a-1)^{F_{3m-2}}$ отметим что последовательность Фибоначчи начинается (1,1,2,...)=(неч,неч,чет,..) отсюда на каждом $3m$ местах всегда будет четное число, значит предыдущее нечётное, отсюда $2a-1=1$ как единственное возможное, так как иначе число не будет полным квадратом откуда $a=1$.