Математикадан облыстық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 9 сынып
{xn} тізбегі келесі түрде берілген: кез келген n≥2 саны үшін x0=a, x1=2, xn=2xn−1xn−2−xn−1−xn−2+1. Кез келген n≥1 үшін 2x3n−1 толық квадрат болатындай барлық
a бүтін сандарын табыңыздар.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
преобразуем
xn=(xn−1−1)(xn−2−1)+xn−1xn−2
Тогда
x2=3a−1=3(2a−1)+12
x3=9a−4=32(2a−1)+12
x4=33(2a−1)2+12
То есть в степенях последовательность «Фибоначчи» Fn тогда общий вид
xn=3Fn(2a−1)Fn−1+12 2x3m−1=3F3m−1(2a−1)F3m−2 отметим что последовательность Фибоначчи начинается (1,1,2,...)=(неч,неч,чет,..) отсюда на каждом 3m местах всегда будет четное число, значит предыдущее нечётное, отсюда 2a−1=1 как единственное возможное, так как иначе число не будет полным квадратом откуда a=1.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.