Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 9 сынып


{xn} тізбегі келесі түрде берілген: кез келген n2 саны үшін x0=a, x1=2, xn=2xn1xn2xn1xn2+1. Кез келген n1 үшін 2x3n1 толық квадрат болатындай барлық a бүтін сандарын табыңыздар.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
6 года 4 месяца назад #

преобразуем

xn=(xn11)(xn21)+xn1xn2

Тогда

x2=3a1=3(2a1)+12

x3=9a4=32(2a1)+12

x4=33(2a1)2+12

То есть в степенях последовательность «Фибоначчи» Fn тогда общий вид

xn=3Fn(2a1)Fn1+12 2x3m1=3F3m1(2a1)F3m2 отметим что последовательность Фибоначчи начинается (1,1,2,...)=(неч,неч,чет,..) отсюда на каждом 3m местах всегда будет четное число, значит предыдущее нечётное, отсюда 2a1=1 как единственное возможное, так как иначе число не будет полным квадратом откуда a=1.