Областная олимпиада по математике, 2007 год, 9 класс

Сумма трех неотрицательных чисел $x_1,~x_2,~x_3$ не превосходит 1/2. Докажите, что справедливо неравенство $(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)\geq 1/2$.

Комментарий/решение

$$x_1+x_2+x_3\leq \frac{1}{2} \Rightarrow -(x_1+x_2+x_3)\geq -\frac{1}{2} \Rightarrow 1-x_1+1-x_2+1-x_3\geq \frac{5}{2} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow 1-x_1+1-x_2+1-x_3\geq 3\sqrt[3]{(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)} \geq \frac{5}{2}\Rightarrow$$ $$\Rightarrow (1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)\geq \frac{125}{216} >\frac{125}{250}=\frac{1}{2}$$

После применения теоремы Коши, не факт что среднее геометрическое будет больше 5/2.

$1-x_{1}=a, \ 1-x_{2}=b, \ 1-x_{3}=c$ тогда неравенство примет вид $a+b+c \geq \dfrac{5}{2}$ при условий что $\dfrac{1}{2} \leq a,b,c \leq 1 $ отметим что для произвольных двух чисел пусть $a,b$ выполняется $a+b \geq \dfrac{3}{2}$ представим $a+b \geq 1+d$ где $0.5 \leq d \leq 1$ тогда $\dfrac{3}{2}-d \leq c \leq 1 $.

Тогда пусть $a+b=y$ тогда $f=abc= a(y-a)(\dfrac{5}{2}-l)$ зафиксировав значение $c=\dfrac{5}{2}-l$ откуда $\dfrac{3}{2} \leq l \leq y$ график $f$ парабола ветви который направлены вниз, значит минимальные значения находятся в крайних точках, то есть в $y-1 \leq d \leq 1$ если $a=y-1$ то $b=1$ и наоборот, значит $f=ac=a(\dfrac{5}{2}-l) \geq \dfrac{1}{2} (\dfrac{5}{2}-\dfrac{3}{2}) = \dfrac{1}{2}$ то есть минимальное значение достигается $(a,b,c) = (\dfrac{1}{2},1,1)$

Примечание: видимо неравенство справедливо для любого $n$-го количества чисел, которую скорее всего можно доказать по мат индукции.

$(1-x_1)(1-x_2)\ge 1-(x_1+x_2) \ \ \iff \ \ x_1x_2\ge 0$

Жоғарыдағы теңсіздікті формула ретінде қолданамыз:

$(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)\ge \big(1-(x_1+x_2)\big)(1-x_3)\ge 1- \big((x_1+x_2)+x_3\big)\ge \frac{1}{2}$