Processing math: 100%

Математикадан облыстық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 9 сынып


Теріс емес x1,x2,x3 сандарының қосындысы 1/2–ден аспайды. Теңсіздікті дәлелдеңіздер: (1x1)(1x2)(1x3)1/2.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
8 года 8 месяца назад #

x1+x2+x312(x1+x2+x3)121x1+1x2+1x352 1x1+1x2+1x333(1x1)(1x2)(1x3)52 (1x1)(1x2)(1x3)125216>125250=12

  4
6 года 4 месяца назад #

После применения теоремы Коши, не факт что среднее геометрическое будет больше 5/2.

пред. Правка 3   3
6 года 3 месяца назад #

1x1=a, 1x2=b, 1x3=c тогда неравенство примет вид a+b+c52 при условий что 12a,b,c1 отметим что для произвольных двух чисел пусть a,b выполняется a+b32 представим a+b1+d где 0.5d1 тогда 32dc1.

Тогда пусть a+b=y тогда f=abc=a(ya)(52l) зафиксировав значение c=52l откуда 32ly график f парабола ветви который направлены вниз, значит минимальные значения находятся в крайних точках, то есть в y1d1 если a=y1 то b=1 и наоборот, значит f=ac=a(52l)12(5232)=12 то есть минимальное значение достигается (a,b,c)=(12,1,1)

Примечание: видимо неравенство справедливо для любого n-го количества чисел, которую скорее всего можно доказать по мат индукции.

  3
2 года назад #

(1x1)(1x2)1(x1+x2)    x1x20

Жоғарыдағы теңсіздікті формула ретінде қолданамыз:

(1x1)(1x2)(1x3)(1(x1+x2))(1x3)1((x1+x2)+x3)12