Математикадан облыстық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 9 сынып
Комментарий/решение:
x1+x2+x3≤12⇒−(x1+x2+x3)≥−12⇒1−x1+1−x2+1−x3≥52⇒ ⇒1−x1+1−x2+1−x3≥33√(1−x1)(1−x2)(1−x3)≥52⇒ ⇒(1−x1)(1−x2)(1−x3)≥125216>125250=12
После применения теоремы Коши, не факт что среднее геометрическое будет больше 5/2.
1−x1=a, 1−x2=b, 1−x3=c тогда неравенство примет вид a+b+c≥52 при условий что 12≤a,b,c≤1 отметим что для произвольных двух чисел пусть a,b выполняется a+b≥32 представим a+b≥1+d где 0.5≤d≤1 тогда 32−d≤c≤1.
Тогда пусть a+b=y тогда f=abc=a(y−a)(52−l) зафиксировав значение c=52−l откуда 32≤l≤y график f парабола ветви который направлены вниз, значит минимальные значения находятся в крайних точках, то есть в y−1≤d≤1 если a=y−1 то b=1 и наоборот, значит f=ac=a(52−l)≥12(52−32)=12 то есть минимальное значение достигается (a,b,c)=(12,1,1)
Примечание: видимо неравенство справедливо для любого n-го количества чисел, которую скорее всего можно доказать по мат индукции.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.