Processing math: 55%

Математикадан облыстық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 9 сынып


pq+r, pq+r2, qr+p, qr+p2, rp+q, rp+q2 сандары жай сандар болатындай барлық pqr жай сандарын табыңыздар.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  -5
8 года 11 месяца назад #

Для начала заметим, что если нечетны p,q,r, то число pq+r четно, но единственное число 2 не удовлетворяет условию. А это значит, что среди p,q,r есть четное число, то есть p=2. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что q=3,r=5

пред. Правка 3   3
6 года 4 месяца назад #

Заметим то, что 2 - единственное четное простое число.

pq+r, pq+r2, qr+p, qr+p2, rp+q, rp+q2 не могут равняться 2, потому что p,q,r2.

Среди чисел p,q,r только 1 один является четным, иначе одно из 6 чисел будет четным.

Поскольку pqr, то p=2.

Получаем:

2q+r, 2q+r2, qr+2, qr+4, 2r+q, 2r+q2P

Пусть pP.

Тогда, p \equiv 1, 5 \pmod {6}.

Поскольку qr+2, qr+4 \in P то, qr \equiv 3 \pmod {6}.

То есть, qr \equiv 0 \pmod {3}, единственное такое простое это 3.

Значит, q=3. (Поскольку двоек больше нет).

Получаем:

Числа 6+r, 6+r^2 , 3r+2, 3r+4, 2r+3, 2r+9 \in P

Заметим что, если простое число делится на 5, то это число 5.

1)Если, r \equiv 1 \pmod {5}, то

3r+2=5 \Rightarrow r=1. Противоречие.

2)Если, r \equiv 2 \pmod {5}, то

3r+4=5 \rightarrow r=1/3. Противоречие.

3)Если, r \equiv 3 \pmod {5}, то

2r+9=5 \rightarrow r=-2. Противоречие.

4)Если, r \equiv 4 \pmod {5}, то

6+r=5 \rightarrow r=-1. Противоречие.

5)Если, r \equiv 0 \pmod {5}, то r=5.

Подставляем, выходит:

11, 31, 17, 19, 13, 19 \in P.

Ответ p=2, q=3, r=5.